Лекции по техническим темам
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голосов)

Лекция № 5. Тема: СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

План

1. Математическое описание элементов и систем автоматики

2. Передаточная функция и частотные характеристики типовых звеньев

3. Передаточные функции автоматических систем

Литература

1. Бородин И. Ф., Кирилин Н. И. Основы автоматики и автоматизация производственных процессов. М., Колос, 1977. 207-213

3. Колесов Л. В. Основы автоматики. М., Колос, 1978., 149-155

4. Бородин И. Ф., Кирилин Н. И. Практикум по основам автоматики и автоматизации производственных процессов. М., Колос, 1974. 51-86

7. Бохан Н. И., Фурунжиев Р. И. Основы автоматики и микропроцессорной техники: Учеб. пособие. - Мн.: Ураджай, 1987.-376 с.: ил. 236-248

1. Математическое описание элементов и систем автоматики

Любая система автоматического управления работает в двух режимах: статическом и динамическом. Поведение звена или системы в статическом режиме определяется по статической характеристике, которая может быть получена экспериментально или теоретически. По статической характеристике для каждого значения входной величины звена х можно определить соответствующее установившееся значение выходной величины.

Для удобства систему управления разбивают на так называемые динамические звенья.

Состояние любого динамического звена может быть охарактеризовано совокупностью соответствующих физических величин (скоростей перемещений, напряжений, токов и т. д.). Поскольку размерности этих величин различны, то их представляют обобщенными координатами. Порядок составления дифференциальных уравнений состоит в следующем:

1) определяются входная и выходная величины и действующие на них факторы;

2) выбирается начало отсчета;

3) выявляется и используется основной физический закон, определяющий связь между входной и выходной величинами. В механике, например, это законы Ньютона, в электротехнике - Кирхгофа и т. п.

Математическое описание физического закона связи входной и выходной величин в динамическом состоянии и является исходным дифференциальным уравнением.

Получаемые уравнения чаще всего оказываются нелинейными, решить которые аналитическим путем бывает затруднительно, а иногда и невозможно. Поэтому на практике нелинейные уравнения приводят к виду линейных. При этом надо помнить, что линеаризации подвергаются только неразрывные функции (релейные и импульсные функции линеаризовать нельзя). В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившегося значения (х0; y0) остаются все время достаточно малыми. Для следящих систем и большинства систем управления по отклонению это условие выполняется.

Простейший способ линеаризации основан на разложении нелинейной функции в ряд Тейлора с отбрасыванием нелинейных членов ряда.

Линеаризация нелинейного уравнения всегда производится относительно установившегося режима работы звена, который характеризуется постоянством обобщенных координат.

Допустим, динамика звена описывается нелинейным уравнением вида .

Раскладывая в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными членами ряда, получим

где

Для установившегося режима работы уравнение запишется так:

Вычтя из уравнения (1) уравнение установившегося состояния, получим искомое линеаризованное дифференциальное уравнение, описывающее динамику звена при малых отклонениях величин

Такая запись громоздка и неудобна. Поэтому принято линеаризованные уравнения записывать в одной из стандартных форм.

Форма 1. Делят все члены уравнения на коэффициент, стоящий при меньшем порядке выходной величины. В данном примере на коэффициент . При этом вводятся такие обозначения

Все вновь полученные коэффициенты при выходной величине называют постоянными времени Т, так как они получают размерность времени, а при входной и других величинах называют коэффициентами передачи по задающему воздействию, по возмущению и т. д. Тогда первая форма записи линеаризованного уравнения будет иметь вид:

 

Форма 2. Используя символ операции дифференцирования , линеаризованное уравнение можно записать в виде

или

(4)

Для сокращения записи символ отклонений D можно опускать, учитывая, что входящие в него переменные линеаризованного уравнения обязательно представляют собой отклонения.

2. Передаточные функции и частотные характеристики типовых звеньев

В теории автоматического управления кроме дифференциальных уравнений широко используются передаточные функции, временные и частотные характеристики. Последние отличаются наглядностью и возможностью экспериментального определения.

Передаточной функцией звена (третья форма записи дифференциальных уравнений) по какому-либо внешнему воздействию называется отношение преобразования Лапласа выходной величины звена к преобразованию Лапласа рассматриваемого внешнего воздействия. При этом все другие воздействия полагаются равными нулю.

Следовательно, для звена с одной выходной величиной число передаточных функций равно числу внешних воздействий:

- по входной величине (задающему воздействию);

- по возмущению (возмущений может быть несколько).

В этих выражениях р - комплексная переменная. Изображение приведенных функций по Лапласу

Для того чтобы понять эти записи, приведем некоторые; сведения из операционного исчисления.

В основу операционного исчисления может быть положен метод, примененный О. Хевисайдом к решению задач электротехники, когда рассматривается любая вещественная или комплексная функция f(t) действительного переменного t, которая при t < 0 равна нулю, а при t > 0 возрастает не быстрее показательной функции .

С помощью этой функции f(t) и измененного интеграла Лапласа можно всегда сконструировать новую функцию F(р)

где - комплексное число.

Функция f(t) называется оригиналом, а F(р) - изображением по Карсону или Хевисайду.

В теории автоматического управления чаще применяют изображение по Лапласу

.

Оригинал и изображение связываются обозначением

Иногда используется другая символическая запись: .

Практическая ценность операционного исчисления состоит в том, что дифференцированию и интегрированию оригиналов соответствуют простейшие операции умножения и деления их изображений на р.

Изображение функции F(р) по Лапласу соответствует преобразованию по Карсону.

При нахождении изображения всегда предполагается:

1) функция f(t) определена и кусочно-дифференцируема на всей положительной числовой полуоси [0;∞];

2) функция F(t) = 0 при t < 0 и существуют такие положительные числа М и с, что f(t) £ Меct при 0 < t < ∞.

Если известна функция F(р), то соответствующий ей оригинал определяется формулой

Обратное преобразование иногда записывают в символической форме

где L-1 - обратный оператор Лапласа.

В ряде случаев при исследовании САУ используются и преобразования Фурье.

Изображение по Фурье

.

Оригинал

Однако передаточная функция может быть легко получена из записи дифференциального уравнения в символической форме, для чего формально надо разделить многочлен (множитель) символической формы записи правой части на многочлен символической формы записи левой части.

Для уравнения (9.4)

- по входной величине;

- по возмущению.

В этом случае символ р заменяется на комплексную переменную р.

Многочлен, фигурирующий в знаменателе передаточной функции звена, называется характеристическим полиномом этого звена, а уравнение G(p)=0 - характеристическим уравнением звена.

Для звена, описываемого дифференциальным уравнением n-го порядка, характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение n-й степени и имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные сопряженные. Корни многочлена, стоящего в числителе передаточной функции, называются нулями этой передаточной функции, а корни многочлена, стоящего в знаменателе передаточной функции, называются полюсами.

Частотные характеристики отражают зависимости амплитуды и фазы от частоты синусоидальных колебаний при прохождении этих колебаний через звено или систему.

Если на вход элементарного звена действует сигнал х=аSinwt, то на его выходе устанавливаются синусоидальные колебания, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе на угол j: у=bSin(wt-j).

Частотные характеристики подразделяются на амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика отражает зависимость отношения амплитуды колебаний на выходе к амплитуде колебаний на входе элемента или системы от частоты приложенного входного воздействия:

(5)

Фазо-частотной характеристикой называют зависимость разности фаз между входными и выходными колебаниями от частоты приложенного входного воздействия:

(6)

В теории автоматического регулирования используется совмещенная амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ), которая выражает соотношение между амплитудами выходного и входного колебаний и сдвигом фаз в зависимости от частоты. В общем случае амплитудно-фазо-частотная характеристика состоит из вещественной R(w) и мнимой jJ(w) частей частотной характеристики:

, (7)

где - модуль функции W(jw);

- фаза или аргумент функции W(jw).

На плоскости комплексного переменного амплитудно-фазо-частотная характеристика изображается кривой, которая называется годографом вектора W(jw) при изменении w от -¥ до +¥.

Примечание.

Для облегчения расчетов и лучшей наглядности целесообразно строить логарифмические частотные характеристики, которые отличаются от частотных характеристик только масштабом. По оси абсцисс вместо величины w откладывают величину lgw в логарифмических единицах (декадах или октавах), а по оси ординат – вместо величины b/a откладывают величину 20lg b/a, единица измерения которой называется децибелом (дБ).

3. Передаточные функции автоматических систем

Системы автоматического управления и многие сложные элементы состоят из некоторого числа соединенных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются (при этом имеется в виду разомкнутая цепь звеньев):

? последовательное,

? параллельное,

? встречно-параллельное или соединение с обратной связью.

При последовательном соединении выходная величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной последующего звена (рис. 1, а).

Способы включения элементарных звеньев

Рис. 1 Способы включения элементарных звеньев

Эквивалентная передаточная функция такого соединения или передаточная функция разомкнутой системы определяется как

где у1; у2, у3 - изображения по Лапласу переменных.

При параллельном соединении (рис. 1, б) все звенья имеют одну и ту же входную величину, а их выходные величины суммируются. Тогда для такого соединения можно записать выражение для эквивалентной передаточной функции

Для встречно-параллельного соединения (рис. 1, в), состоящего из звена в прямой цепи с передаточной функцией Wn и звена в обратной цепи с передаточной функцией W0, можно составить следующие равенства:

Разрешив эти уравнения относительно

получим эквивалентную передаточную функцию

где знак " + " в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи, а знак "-" - положительной. В случае, если передаточная функция обратной связи W0(р) = 1 (жесткая единичная обратная связь), структурная схема имеет вид (рис. 1, г).

На практике наиболее употребительны жесткая отрицательная W0(р) = k0 и положительная W0(р) = kn обратная связь, гибкая (дифференциальная) отрицательная W0(р) = pk и изодромная отрицательная , где k и Т0 - положительные постоянные. С помощью обратных связей изменяют в нужном направлении свойства типовых динамических звеньев. В общем случае передаточная функция разомкнутой системы представляет собой рациональную дробь

В реальных системах всегда m < n и коэффициент аm ¹ 0; аi; bi - вещественные коэффициенты, зависящие от параметров звеньев САР и САУ.

Многочлен b(р) называется характеристическим полиномом разомкнутой системы, а уравнение b(р) = 0 - характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Целесообразно, как и для отдельного звена, передаточную функцию всей разомкнутой цепи в целом W(р) приводить к стандартному виду

где Q(р) и V(р) - многочлены с единичными коэффициентами при младших членах.

Множитель k в этом случае называется общим коэффициентом усиления всей разомкнутой цепи звеньев.

Для последовательного соединения звеньев

Для цепи из параллельно соединенных звеньев

Величина n (показатель степени при р) в выражении для стандартной формы записи разомкнутой системы называется порядком астатизма системы. При n = 0 астатическая система становится статической.

Дополнительные материалы: