Радиоэлектроника
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голосов)

АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Далее будет показано, что любую линейную систему автоматического регулирования можно свести к системе второго или третьего порядка. Поэтому важно математически хорошо знать подобные простейшие системы.

Общий вид передаточной функции замкнутой САР второго порядка при отсутствии форсирующих звеньев

Характеристический полином

или

,

где x - коэффициент демпфирования.

Другие формы записи характеристического полинома второго порядка:

1. ,

где - среднегеометрический корень (показатель быстродействия).

2. , где

Корни характеристического полинома для уравнения

равны ,

где - частота колебаний САР.

Иногда используют показатель колебательности m :

(при ).

Решение дифференциального уравнения второго порядка

Пусть при t = t1 амплитуда , тогда амплитуда через период

Другой показатель колебательного звена - затухание за период x' :

,

где l - логарифмический декремент затухания.

В инженерной практике используются все параметры затухания:

- x - коэффициент демпфирования;

- m - показатель колебательности;

- x' - затухание за период;

- l - логарифмический декремент затухания.

В табл. 6.1 приведены параметры затухания для ряда случаев.

Параметры затухания для САР второго порядка. Таблица 6.1.

ξ

μ

ξ%

λ

1

0

100

0,707

1

99,71

6,28

0,537

1,57

98

4

0,5

 

97

 

0,431

2,093

95

3

0,344

2,727

90

2,3

0,11

9,061

50

≈0,7

0

0

0

При x > 0,707 резонансный пик в частотной характеристике САР второго порядка отсутствует.

Если экспериментально определим затухание x'% за период Тw колебательного звена, то можно вычислить

, ,

Для стандартных записей характеристических полиномов имеем:

, ;

, ;

, .

Время переходного процесса в 5 % зоне установившейся величины

.

Характеристический полином САР третьего порядка

.

Обычно вначале данный полином приводится к стандартизованному виду

подстановкой .

Проф. Вышнеградский для параметров А и В предложил диаграмму расположения корней характеристического полинома третьего порядка (рис. 6.1). На диаграмме в зависимости от параметров А и В имеем четыре области расположения корней.

Расположение корней характеристического полинома третьего порядка в зависимости от коэффициентов А и В (диаграмма Вышнеградского)

Рис. 6.1. Расположение корней характеристического полинома третьего порядка в зависимости от коэффициентов А и В (диаграмма Вышнеградского)

О – область неустойчивости;

I – область, где главное влияние оказывает отрицательный вещественный корень, лежащий ближе к мнимой оси;

II – область, где главное влияние на переходные процессы оказывает пара комплексных корней;

III – область отрицательных вещественных корней и апериодических переходных процессов.

Практический опыт показывает желательность расположения корней в зоне А » В.

Пример. Определить корни характеристического полинома третьего порядка. Дан полином

Сначала надо определить вещественный корень, т. е. найти qi, при котором полином превращается в 0.

Произведем подстановку :

Найдем вещественный корень методом подбора qi в уравнении :

qi

-1,5

-2

-1

Yi

0,375

-3

0 ( Корень найден)

Разделим полином третьего порядка на два сомножителя:

.

Решая полином второго порядка, находим корни

Таким образом:

Построение переходных характеристик

Существует несколько способов построения переходных характеристик САР:

1. По вещественной частотной характеристике замкнутой САР;

2. Прямое решение дифференциальных уравнений;

3. Обратное преобразование Лапласа;

4. По стандартным передаточным функциям с заданными показателями качества;

5. Моделирование САР на ЭВМ.

Первый способ используется для САР высокого порядка, когда трудно свести систему ко второму и третьему порядку. В последнее время им практически не пользуются.

Вторым способом широко пользуются, поскольку определение корней для систем второго и третьего порядков не представляет сложностей.

Третьим способом также широко пользуются для систем второго и третьего порядка. Причем особенно удобен этот способ при порядке полинома числителя не равном 1.

Четвертый способ находит применение, когда использование принципов подчиненного регулирования приводит к простым стандартным методам синтеза и стандартным переходным характеристикам.

Пятый способ широко используется в учебной практике. ЭВМ целесообразно использовать для исследования обыкновенных линейных систем в тех случаях, когда последние описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка и их аналитическое исследование становится малоэффективным. Однако наибольшее значение имеют вычислительные машины при исследовании линейных систем с переменными параметрами и нелинейных систем, поскольку для этих случаев пока еще мало разработано приемлемых для практики методов, а иногда аналитические методы вообще отсутствуют.

Следует заметить, что моделирование не призвано полностью заменить аналитические методы исследования систем. Комплекс технических задач, связанных с проектированием, конструированием, регулировкой и настройкой систем, весьма сложен, и он всегда должен опираться на сознательные расчетно-теоретические методы. Моделирование же процессов на вычислительных машинах во многом сводится к просматриванию некоторого количества возможных вариантов настроек, разобраться в которых, а также предварительно наметить их можно при помощи существующих теоретических методов анализа и синтеза. Наилучшим решением в настоящее время является взаимная увязка расчетно-теоретических методов и методов моделирования, так как они взаимно дополняют друг друга и позволяют наиболее полно и быстро решить задачу разработки сложной системы управления.

Построение переходных характеристик по дифференциальным уравнениям раскрыт в следующих параграфах. Рассмотрим третий способ – обратное преобразование Лапласа. В табл. 6.2 приведены типичные случаи получаемых передаточных функций и их оригиналы. Первоначально необходимо для исходной передаточной функции замкнутой САР найти корни числителя и знаменателя. Затем свести передаточную функцию к виду, соответствующему представленному в табл. 6.2 Для комплексных корней :

.

Оригинал ,

В данных формулах приняты нулевые начальные условия слева. Начальные условия справа уже учтены в формулах.

Установившееся значение переходных процессов К находится из формул просто:

Следует иметь в виду, что К и свободная составляющая при t = 0 противоположны по знаку.

Оригиналы для других передаточных функций приведены в книге [48 стр.235-251].

Переходные характеристики для ряда стандартных передаточных функций приведены в табл. 6.3.

Передаточные функции и их оригиналы. Таблица 6.2

Переходные характеристики для стандартных изображений. Таблица 6.3.

Скачать Таблицы 6.2, 6.3 в Word (4 листа)