АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Далее будет показано, что любую линейную систему автоматического регулирования можно свести к системе второго или третьего порядка. Поэтому важно математически хорошо знать подобные простейшие системы.
Общий вид передаточной функции замкнутой САР второго порядка при отсутствии форсирующих звеньев
Характеристический полином
или
,
где x - коэффициент демпфирования.
Другие формы записи характеристического полинома второго порядка:
1. 
,
где 
- среднегеометрический корень (показатель быстродействия).
2. 
, где 
Корни характеристического полинома для уравнения 
равны 
,
где 
- частота колебаний САР.
Иногда используют показатель колебательности m :
(при 
).
Решение дифференциального уравнения второго порядка
Пусть при t = t1 амплитуда 
, тогда амплитуда через период
Другой показатель колебательного звена - затухание за период x' :
,
где l - логарифмический декремент затухания.
В инженерной практике используются все параметры затухания:
- x - коэффициент демпфирования;
- m - показатель колебательности;
- x' - затухание за период;
- l - логарифмический декремент затухания.
В табл. 6.1 приведены параметры затухания для ряда случаев.
Параметры затухания для САР второго порядка. Таблица 6.1.
|
ξ |
μ |
ξ% |
λ |
|
1 |
0 |
100 |
∞ |
|
0,707 |
1 |
99,71 |
6,28 |
|
0,537 |
1,57 |
98 |
4 |
|
0,5 |
 |
97 |
 |
|
0,431 |
2,093 |
95 |
3 |
|
0,344 |
2,727 |
90 |
2,3 |
|
0,11 |
9,061 |
50 |
≈0,7 |
|
0 |
∞ |
0 |
0 |
При x > 0,707 резонансный пик в частотной характеристике САР второго порядка отсутствует.
Если экспериментально определим затухание x'% за период Тw колебательного звена, то можно вычислить
, 
, 
Для стандартных записей характеристических полиномов имеем:
, 
;
, 
;
, 
.
Время переходного процесса в 5 % зоне установившейся величины
.
Характеристический полином САР третьего порядка
.
Обычно вначале данный полином приводится к стандартизованному виду
подстановкой 
.
Проф. Вышнеградский для параметров А и В предложил диаграмму расположения корней характеристического полинома третьего порядка (рис. 6.1). На диаграмме в зависимости от параметров А и В имеем четыре области расположения корней.
Рис. 6.1. Расположение корней характеристического полинома третьего порядка в зависимости от коэффициентов А и В (диаграмма Вышнеградского)
О – область неустойчивости;
I – область, где главное влияние оказывает отрицательный вещественный корень, лежащий ближе к мнимой оси;
II – область, где главное влияние на переходные процессы оказывает пара комплексных корней;
III – область отрицательных вещественных корней и апериодических переходных процессов.
Практический опыт показывает желательность расположения корней в зоне А » В.
Пример. Определить корни характеристического полинома третьего порядка. Дан полином 
Сначала надо определить вещественный корень, т. е. найти qi, при котором полином превращается в 0.
Произведем подстановку 
:
Найдем вещественный корень методом подбора qi в уравнении 
:
|
qi |
-1,5 |
-2 |
-1 |
|
Yi |
0,375 |
-3 |
0 ( Корень найден) |
Разделим полином третьего порядка на два сомножителя:
.
Решая полином второго порядка, находим корни
Таким образом:
Построение переходных характеристик
Существует несколько способов построения переходных характеристик САР:
1. По вещественной частотной характеристике замкнутой САР;
2. Прямое решение дифференциальных уравнений;
3. Обратное преобразование Лапласа;
4. По стандартным передаточным функциям с заданными показателями качества;
5. Моделирование САР на ЭВМ.
Первый способ используется для САР высокого порядка, когда трудно свести систему ко второму и третьему порядку. В последнее время им практически не пользуются.
Вторым способом широко пользуются, поскольку определение корней для систем второго и третьего порядков не представляет сложностей.
Третьим способом также широко пользуются для систем второго и третьего порядка. Причем особенно удобен этот способ при порядке полинома числителя не равном 1.
Четвертый способ находит применение, когда использование принципов подчиненного регулирования приводит к простым стандартным методам синтеза и стандартным переходным характеристикам.
Пятый способ широко используется в учебной практике. ЭВМ целесообразно использовать для исследования обыкновенных линейных систем в тех случаях, когда последние описываются дифференциальными уравнениями сравнительно высокого порядка и их аналитическое исследование становится малоэффективным. Однако наибольшее значение имеют вычислительные машины при исследовании линейных систем с переменными параметрами и нелинейных систем, поскольку для этих случаев пока еще мало разработано приемлемых для практики методов, а иногда аналитические методы вообще отсутствуют.
Следует заметить, что моделирование не призвано полностью заменить аналитические методы исследования систем. Комплекс технических задач, связанных с проектированием, конструированием, регулировкой и настройкой систем, весьма сложен, и он всегда должен опираться на сознательные расчетно-теоретические методы. Моделирование же процессов на вычислительных машинах во многом сводится к просматриванию некоторого количества возможных вариантов настроек, разобраться в которых, а также предварительно наметить их можно при помощи существующих теоретических методов анализа и синтеза. Наилучшим решением в настоящее время является взаимная увязка расчетно-теоретических методов и методов моделирования, так как они взаимно дополняют друг друга и позволяют наиболее полно и быстро решить задачу разработки сложной системы управления.
Построение переходных характеристик по дифференциальным уравнениям раскрыт в следующих параграфах. Рассмотрим третий способ – обратное преобразование Лапласа. В табл. 6.2 приведены типичные случаи получаемых передаточных функций и их оригиналы. Первоначально необходимо для исходной передаточной функции замкнутой САР найти корни числителя и знаменателя. Затем свести передаточную функцию к виду, соответствующему представленному в табл. 6.2 Для комплексных корней 
:
.
Оригинал 
, 
В данных формулах приняты нулевые начальные условия слева. Начальные условия справа уже учтены в формулах.
Установившееся значение переходных процессов К находится из формул просто:
Следует иметь в виду, что К и свободная составляющая при t = 0 противоположны по знаку.
Оригиналы для других передаточных функций приведены в книге [48 стр.235-251].
Переходные характеристики для ряда стандартных передаточных функций приведены в табл. 6.3.
Передаточные функции и их оригиналы. Таблица 6.2
Переходные характеристики для стандартных изображений. Таблица 6.3.
