ВЫБОР ТИПА И ПАРАМЕТРОВ РЕГУЛЯТОРА

Тип и параметры регулятора выбираются в зависимости от передаточной функции и частотной характеристики объекта регулирования при заданных требованиях точности и качества переходных процессов.

Переходные процессы для системы второro порядка с передаточной функцией Ф(Р) = 1/(Р2 + 2ξР + 1) при ξ = /2, колебательности μ = /2, перерегулировании 4,3 % приняты в настоящее время за технически оптимальные (квазиоптимальные, просто реализуемые технически). В общем случае для подобной оптимизации САР требуется, чтобы mod │Ф(jω)│= 1 в наибольшем диапазоне частот [1, 5]. Поэтому данный метод расчета параметров получил название «модульный» оптимум (МО).

При данной настройке САР не теряет устойчивости при изменении параметров настройки в 2 раза, а небольшие изменения незначительно влияют на качество. Поэтому достаточно бывает определить данные объекта с точностью (I0 ··· 20) %. Также можно не учитывать малые нелинейности характеристик элементов. Для передаточной функции разомкнутой САР

,

где - передаточная функция объекта регулирования;

- передаточная функция регулятора.

При настройке по МО требуется выполнить:

n = 0 ( И - регулятор) ;

n = 1 ( ПИ - регулятор)

; ,

где d1 = │b1 b2 │

│b3 b2 │

Случай к = n занимает особое место, так как все большие постоянные компенсируются. При этом передаточная функция замкнутой системы (при единичной обратной связи):

Ф(р) =

Другой критерий выбора параметров регуляторов получаем, если считать, что затухание свободных составляющих переходных процессов, определяемое корнями характеристического полинома замкнутой системы, оптимально. Обычно принимают, что затухание соответствует МО.

С. Кеслер показал, что устойчивость, определяемая запасом по фазе на частоте среза, зависит в одинаковой степени от сопрягающих частот ЛАЧХ, расположенных слева и справа от частоты среза [2, 4].

При этом, если постоянные времени изодромных звеньев

τν >> 1/ωс,

то справедливо:

,

т. е. цепочка интегро-пропорциональных звеньев слева от частоты среза может быть заменена одним интегро-пропорциональным звеном.

Условие оптимизации для САР с передаточной функцией:

является .

При этом

; Ф(р) =

Чтобы получить наименьшую инерционность частотных процессов, требуется выполнить дополнительное условие:

.

Если передаточная функция объекта имеет вид

,

то учитывая теорему об интегральном действии больших постоянных

времени при << Tν , запишем

где

Если , то для получения затухания свободных составляющих переходного процесса, соответствующего МО, требуется

.

При этом

или, вводя , имеем:

.

Учитывая, что W(q) и Ф(q) инвариантны к отражению W(1/q) и

Ф(1/q) и что левую и правую ветви ЛАЧХ можно оптимизировать независимо друг от друга, данный расчетный метод назван «симметричным» оптимумом (СО).

Граница применимости симметричного оптимума Тν > τ , т. е.

при n = 1 (ПИ-регулятор) ;

n = 2 (ПИД-регулятор) .

В табл. 7.1 в позициях 1, 2, 3 приведены передаточные функции и частотные характеристики типовых структур САР: статические САР, астатические САР первого порядка, астатические САР второго порядка. К этим структурам можно свести большинство имеющихся линейных САР. Исключение – системы с упругими связями, синтез регуляторов для которых будет изложен позднее.

Ошибка от представления любой линейной САР системой второго или третьего порядка не превышает 5%. Учитывая, что все параметры объекта регулирования определяются с погрешностью 10 ··· 20 %, подобной ошибкой можно пренебречь.

Все объекты имеют нелинейности, изменение параметров с изменением времени, температуры, координат объекта. Например, в ДПТ активное и индуктивное сопротивление якорной цепи изменяются в процессе работы на 30 ··· 45%. Поэтому высокой точности расчетов параметров регуляторов не требуется. В процессе наладки приходится экспериментально доводить параметры регуляторов до реализации требуемых статических и динамических показателей. В настоящее время микропроцессорные системы управления позволяют производить самонастройку на оптимальные показатели статики и динамики.

На основании вышеизложенного приведем правила, по которым можно упрощать исходные структуры с высоким порядком полиномов.

1. В зоне частоты среза наклон желаемой частотной характеристики должен быть 20 дб/дек по условиям устойчивости системы. Чем протяженнее этот участок (наклон 20 дб/дек), тем меньше колебательность.

2. Все постоянные времени, дающих сопрягающие частоты правее частоты среза, можно объединить в одну эквивалентную малую постоянную времени Тm , равную сумме соответствующих постоянных времени: .

3. Все постоянные времени, дающих сопрягающие частоты левее частоты среза (статические и астатические системы второго и более высокого порядка), можно объединить в одну эквивалентную постоянную времени Тν , равную .

Исходя из этих правил любую САР, любой контур регулирования можно свести к одному из трех случаев:

- статическая САР с ЛАЧХ типа «0-1-2»;

- астатическая САР первого порядка с ЛАЧХ типа «1-2»;

- астатическая САР второго порядка с ЛАЧХ типа «2-1-2»;

Данные структуры приведены в табл. 7.1. В зависимости от требований точности в установившемся режиме работы следует выбрать одну из требуемых структур 1, 2, 3.

Отметим, что в подобных системах могут рассматриваться и звенья с запаздыванием. Согласно принципу Гольфарба при запаздывании τ сопрягающая частота 1/ τ обязательно должна лежать правее частоты среза по условиям устойчивости. Таким образом, время запаздывания τ совершенно правомерно может быть включено в эквивалентную малую постоянную времени Тμ.

В статических системах используется структура типа «0-1-2». При повышении требований к точности используют астатические САР первого или второго порядка.

В динамических режимах точность зависит от полосы пропускания. Чем больше полоса пропускания САР, тем быстрее и точнее отрабатываются управляющие воздействия, и тем быстрее компенсируются возмущающие воздействия, в том числе по МС.

Если принять, что полоса пропускания примерно равна частоте среза , а время достижения первого максимума в переходных процессах колебательных САУ примерно равно , то общее время переходного процесса . В случае апериодической переходной характеристики . Таким образом, по заданному времени переходных процессов можно определить заданную частоту среза (полосу пропускания) САР.

При заданной ωc синтез регулятора проводится из условия сведения результирующей ЛАЧХ САР к стандартному виду. Характер переходных процессов определяют корни характеристического полинома. По желанию можно выбрать коэффициент демпфирования от x = 0,5 до x = 1, что и реализуется обычно на практике.

Характеристики типовых структур САР. Таблица 7.1.  Скачать Таблицу 7.1 в Word

Последовательность синтеза регуляторов локального контура регулирования предлагается следующая:

1. Находим коэффициенты и постоянные времени отдельных звеньев, передаточную функцию объекта регулирования;

2. Начертим ЛАЧХ разомкнутого контура регулирования (без регулятора);

3. Определим, какую полосу пропускания (частоту среза) должен иметь контур регулирования;

4. Объединяем все сопрягающие частоты правее частоты среза в одну эквивалентную;

5. Находим тип регулятора, исходя из требований статизма или астатизма;

6. Задаем характер переходных процессов;

7. Выбираем параметры регулятора, чтобы получить результирующую ЛАЧХ разомкнутой системы стандартного простейшего вида (см. табл. 7.1).

Отметим, что имеющийся в технической литературе термин -“компенсация больших постоянных времени регулятором” верен лишь с точки зрения упрощения результирующей передаточной функции разомкнутой САР (сокращение числителя и знаменателя на полином первого порядка). Физически “большая постоянная времени” действует правее своей сопрягающей частоты. А форсирующее звено действует, как правило, совместно с интегрирующем, образуя ПИ – регулятор с интегрирующем эффектом только в зоне низких частот.

ПРИМЕР

Пусть передаточная функция объекта .

Частотная характеристика такого объекта приведена на рис. 7.1.

Рис. 7.1. ЛАЧХ объекта типа «0-1-2-3».

а) поставим задачу - получить астатическую систему первого порядка при частоте среза wС = 5 рад/с.

Объединяем две малые постоянные в одну малую эквивалентную Тμ = 0,01 + 0,001 = 0,011 с. Тогда передаточная функция объекта .

С учетом заданной частоты среза и требований астатизма необходима результирующая передаточная функция САР

.

Находим передаточную функцию регулятора:

.

Получаем, что необходим ПИ-регулятор с ЛАЧХ, представленной на рис. 7.2.

 

20lg5-20lg100» - 86дб

 

Рис. 7.2. ЛАЧХ ПИ-регулятора

Итоговая ЛАЧХ САР приведена на рис. 7.3.

Рис. 7.3. ЛАЧХ объекта с регулятором, приведенная к виду «1-2»

Переходные процессы при таком большом соотношении частот 91/5 будут апериодическими.

б) поставим задачу - получить статическую систему с коэффициентом демпфирования x=0,5.

В статической системе достаточно применить П-регулятор с коэффициентом усиления Wр = Кр = К.

Опять объединим две малые постоянные времени в одну эквивалентную.

Результирующие передаточная функция САР

.

Частотная характеристика САР представлена на рис.7.4.

Рис.7.4. ЛАЧХ разомкнутой системы с П-регулятором.

Передаточная функция замкнутой системы при КОС = 1

.

Из характеристического полинома находим коэффициент демпфирования .

Если задано , то 112

В следующих разделах данная простая и наглядная инженерная методика синтеза типа и параметров регуляторов будет постоянно использоваться.

В [13, 27] приведены частотные и переходные характеристики:

- астатической САР первого порядка с коэффициентом демпфирования x=0,707¸1,2 при изменении параметра «а» (стр.283¸290 [л.13] , стр. 160¸169 [27]);

- астатической САР второго порядка при изменении параметров а = в = 2 ¸ 4 и других настройках (стр.295¸304 [13], стр. 169¸178 [27]);

- оригиналы реакции для изображений первого порядка, второго порядка вида 1-2, 2-1, 1-2-1, третьего порядка вида 1-2-1, 2-1-2 на импульсные, ступенчатые воздействия и оригиналы скоростной ошибки при линейно нарастающем воздействии (стр.327-348 [13], стр.214¸235 [27].

В инженерной практике нашли наибольшее распространение при расчете параметров регуляторов две стандартные настройки - модульный оптимум (МО), симметричный оптимум (СО). (см. табл. 7.1.)

Модульный оптимум – настройка САР, при которой частотная

характеристика замкнутой САР имеет максимально возможную полосу пропускания, но не превышает по модулю «1» во всей полосе пропускания. Наиболее просто эта настройка реализуется для систем, сведенных к ЛАЧХ разомкнутой САР типа 1 – 2.

Полоса пропускания САР при МО , время первого согласования при ступенчатом управляющем воздействии 4,7 Тm, перерегулирование 4,3% , время вхождения в 2% зону ошибки – 8,4 Тm.

Симметричный оптимум – настройка САР, при которой на низких частотах необходим астатизм второго порядка, т. е. наклон частотной характеристики 40 дб/дек. Эта настройка более сложная, но обеспечивает снижение ошибок по управлению и возмущению в установившихся режимах работы. Обычно САР при наладке настраивается вначале на модульный оптимум, а уже затем вводится в контур интегральная составляющая регулирования на низких частотах. Поскольку левая и правая части ЛАЧХ с наклоном 40 дб/дек одинаково влияют на запас устойчивости (одинаково снижают запас по фазе на частоте среза) и было предложено симметрично располагать сопрягающие частоты слева и справа от частоты среза. Поскольку при МО сопрягающая частота 1/Тm располагается от частоты среза правее на одну октаву, то и при СО сопрягающую частоту 1/4Тm располагают слева от частоты среза тоже на одну октаву. При СО время первого согласования 3,1Тm, общее время переходного процесса t1=16,5Тm, перерегулирование 43%, запас по фазе 38°.

Другие методики расчета параметров регуляторов аналогичны по сути и дают близкие результаты. Можно воспользоваться методами аналитического конструирования регуляторов, задавшись нужным расположением корней на комплексной плоскости [18]. В табл. 7.2 приведены характеристики систем второго и третьего порядка с различным расположением корней. Вещественные корни обычно не удовлетворяют требованиям по быстродействию. Поэтому чаще используют комплексные корни. Могут быть рекомендованы следующие варианты:

- кратные комплексные корни соответствующие колебательному звену с коэффициентом затухания l = 0,6 ¸ 0,8. При l = 0,707 получаем модульный оптимум;

- кратные комплексные корни с оптимальным значением степени колебательности m, когда достигается наибольшее быстродействие;

- распределение корней по Баттерворту. Векторы корней принимаются одинаковыми, а угол сдвига между ними равен p/n.

Аналитическое конструирование САР по расположению корней. Таблица 7.2.

Характеристика системы	Расположение корней на комплекс-ной плоскости	Порядок	Коэффициенты полинома знаменателя нормирова-нной ПФ	Перерегулирование, %	Дополнительные данные
Вещественные равные корни		2 3	1 2 1 1 3 3 1	_______
Вещественные корни в арифме­тической про­грессии		2 3	1 2,5 1 1 5,1 6,35 1	 10	Первый чл. про­грессии 0,50 0,18	Разность прогрессий 1,50 1,52
Вещественные корни в геометрической прогрессии		2 3	- 1 6,7 6,7 1	- 10	- 0,182	Значение прогрессии 5,50
Комплексные кратные корни с заданным коэффициентом затухания		2 3	1 1,5 1 1 2,5 2,5 1	<5	λ=0,75
Комплексные кратные корни, соответствующие оптимуму по модулю		2 3	1 1,41 1 1 2,41 2,41 1	5	λ=0,707
Комплексные кратные корни с оптимальным показателем колебательности		2 3	1 1,38 1 1 2,05 2,39 1	<5	μ=1 μ=1.45
Корни с распределением по Баттерворту		2 3	1 1,41 1 1 2 2 1	4 8

Из табл. 7.2 следует, что все способы настройки для систем второго и третьего порядка (к ним сводятся после упрощения большинство САР) обеспечивают близкие показатели качества и коэффициенты характеристического полинома.

Отметим, что все переходные характеристики, рассмотренные выше и приводимые в справочниках, достоверны в малом, когда воздействия невелики, регуляторы и отдельные модули не входят в насыщение. Реально при задании на входе номинальных заданий регуляторы насыщаются, силовые преобразователи выдают максимально возможные напряжения.

Итоговые переходные процессы при этом определяются соотношением времени насыщения регуляторов tнас и временем от выхода регулятора из насыщения до установившегося tуст. Чем более соотношение tнас/tуст, тем меньше влияние накопившихся ошибок на интегрирующих элементах регуляторов на итоговый переходный процесс. Поэтому, например, в контуре скорости, настроенном на СО, при пуске и торможении вместо ожидаемого перерегулирования 43 % обычно наблюдается 3 ¸ 20 % (в зависимости от общего момента инерции).

При наличии больших постоянных времени у объекта регулирования целесообразно иметь 2 ¸ 3-кратный запас по напряжению силовых преобразователей, чтобы за счет первоначального насыщения преобразователя при ступенчатом управляющем воздействии получить хорошую форсировку переходных процессов.

На рис. 7.5 представлены кривые переходных процессов в обмотке возбуждения (ОВ):

- подсоединение ОВ к напряжению Uвн (кривая 1);

- подсоединение ОВ к напряжению Uвмах (кривая 2);

- подсоединение ОВ к напряжению Uвмах со снятием форсировки при достижении током Iв = Iвн (кривая 3).

Только таким способом можно достичь сокращения времени переходных процессов при больших постоянных времени объектов регулирования.

Рис. 7.5. Кривые переходных процессов в обмотке возбуждения с форсировкой и без форсировки.