Сборник статей
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 0.00 (0 Голосов)

Однофакторные эксперименты и оценка их результатов.

Методика проведения однофакторного эксперимента: из группы факторов (переменных), влияющих на функцию отклика, выбирают один, остальные поддерживают постоянными.

Классический однофакторный эксперимент: каждый их факторов Xj поочередно варьируется на двух уровнях – верхнем Xjmax =+1 и нижнем Xjmin=-1, остальные факторы поддерживают на основном уровне Х=0.

Как правило, при проведении однофакторных экспериментов выбранный интервал D Xj делят на несколько отрезков. Шаг может быть как постоянным, так и переменным. Сняв зависимости yj=f(xj), анализируют каждую из них. Для этого пользуются процедурами аппроксимации или регрессионного анализа.

Задачей регрессионного анализа является вычисление параметров и статистическое исследование математических моделей, полученных на основе экспериментальных данных, часто без учета механизмов и физической сущности процессов и явлений. Полученная таким образом функция y=f(x) называется уравнением регрессии или моделью. Параметры модели называются коэффициентами регрессии. Поверхность, описываемая уравнением регрессии и являющаяся геометрическим образом процесса, называется поверхностью отклика.

Если одному значению х соответствует несколько значений (совокупность) у, то такие модели называют регрессионными (корреляционными). Каждому значению аргумента х соответствует статистический ряд распределения отклика у. Если между х и у существует зависимость, т. е. с изменением х меняется и у, то говорят, что эти величины коррелированны. Критерием оценки этой зависимости служит коэффициент корреляции r. Если есть ряд У(Х), то выборочный коэффициент корреляции

(3.8)

Коэффициент корреляции rxy изменяется в пределах -1≤ rxy ≤+1. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем выше степень зависимости у от х.

Не всякое значение выборочного коэффициента корреляции является достаточным для статистического обоснования выводов о наличии действительно надежной корреляционной связи между фактором и откликом. Надежность статистических характеристик ослабевает с уменьшением объема выборки (n).

Так, при n=2 через две экспериментальные точки можно провести только одну прямую и зависимость будет функциональной, при этом выборочный коэффициент корреляции равен единице (rxy =1). Однако это не означает надежность полученных статистических характеристик в силу малого объема выборки. Значит, вычислять коэффициент корреляции по результатам двух наблюдений бессмысленно, так как он заведомо будет равен единице, и это будет обусловлено не свойствами переменных и их взаимным отношением, а только числом наблюдений.

В связи с этим требуется проверка того, насколько значимо отличается выборочный коэффициент корреляции rxy от его действительного значения rxy*(при n→∞). При достаточно большом объеме выборки rxy= rxy*.

Таким образом, требуется проверка значимости выборочного коэффициента парной корреляции и оценка его доверительного интервала. Расчет такой оценки см. пример 4.5.

Практически любую зависимость можно описать многочленом n–ной степени:

(3.9)

Кроме этого, в качестве аппроксимирующих функций могут использоваться линейная, показательная, степенная, логарифмическая, гиперболическая и дробно-рациональная.

Для выбора вида аппроксимирующей функции используется следующая методика. Вблизи границ интервала выбирают узлы хa и хb с достоверными значениями у(хa)= уa и у(хb)=уb. Затем рассчитывают

- среднеарифметическое xар=(хa + хb)/2; уар= (уa +уb)/2;

- среднегеометрическое

- среднегармоническое xгр= 2хa хb/(хa + хb); yгр= 2ya yb/(ya + yb).

После этого вычислением или интерполяцией определяют y(xар), y(xгм), y(xгр), вычисляют модули разности согласно таблице 3.2 и по минимальному значению модуля разности выбирают функцию.

Таблица 3.2 Выбор вида аппроксимирующей функции

Модуль разности (минимальное значение)

Аппроксимирующая функция

Y(xар)- уар

Линейная

y=ax+b

Y(xар)- угм

Показательная

y=abx

Y(xгм)- угм

Степенная

y=axb

Y(xгм)- уар

Логарифмическая

y=alnx+b

Y(xгр)- уар

Гиперболическая

y=a+b/x

Y(xар)- угр

Дробно-рациональная 1

y=1/(ax+b)

Y(xгр)- угр

Дробно-рациональная 2

y=x/(ax+b)

Коэффициенты a и b эмпирических формул вычисляют методом неопределенных коэффициентов или методом наименьших квадратов.

После получения уравнения регрессии его анализируют на однородность дисперсий, значимость коэффициентов и адекватность.