20 | 09 | 2017
Учебные материалы
Для преподавателей
Работы студентов
Справочная и техническая литература
Статьи по темам

Определение показателей надежности неремонтируемого объекта

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 4.00 (1 Голос)

Задача. Определить показатели надежности неремонтируемого объекта.

Условие задачи. По результатам испытаний заданного числа N образцов однотипных приводных клиновых ремней определить их показатели надежности. Результатами испытаний (исходными данными задачи) являются:

- интервалы значений наработки до первого отказа Т1 ,час.;

- значения частот mi отказов ремней по i-ым частичным интервалам наработки T1i .

При выполнении задачи требуется:

1. Проанализировать условия задания и составить по ним интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки .

2. Построить гистограмму и полигон эмпирического распределения наработки .

3. Подсчитать среднее арифметическое значение выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для заданной статистической выборки, подобрать теоретический закон распределения наработки до первого отказа.

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов клиновых ремней для i-x частичных интервалов наработки до первого отказа.

5. Построить графики изменения и эмпирической интегральной функции по данным испытаний клиновых, ремней.

6. Определить значения теоретической интегральной функции для заданных частичных интервалов значений наработки , построить график функции .

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки по критерию , (А. Н. Колмогорова).

8. Определить доверительные границы средней наработки клиновых ремней до первого отказа при доверительной, вероятности = 0,90.

Методика выполнения задачи.

В задаче требуется определить числовые значения показателей безотказности приводных клиновых ремней по результатам испытаний 40 однотипных образцов. Клиновые ремни — неремонтируемые изделия, основными показателями их надежности являются (см.. [1], гл. 3) вероятность безотказной работы , средняя наработка до первого отказа интенсивность отказов .

Числовые значения показателей надежности определяют по результатам наблюдений за испытаниями однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статистического ряда распределения наработки изделий до первого отказа.

Методику определения показателей безотказности рассмотрим на примере выполнения следующего задания: частичные интервалы значений наработки — по варианту 11 из приложения 1, а значения частот отказов ремней по i-м частичным интервалам — по варианту 6 из приложения 2 к данным методическим указаниям. Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки для заданных условий приведен в таблице 1. В этой же таблице указаны значения частостей и накопленных частостей по отдельным i-м интервалам. Сумма частот по всем интервалам должна быть равна (т. е. 40), а сумма накопленных частостей =1.

Таблица 1

Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки клиновых ремней до первого отказа

Границы частичных интервалов, ч

0...150

150…300

300…450

450...600

600…750

750...900

Середины интервалов, ч

75

225

375

525

675

825

Частоты mi

1

4

14

17

3

1

Частости

0,025

0,100

0,350

0,425

0,075

0,025

Накопленные частости

0,025

0,125

0,475

0,900

0,975

1,000

Данные из таблицы 1 используются для построения графиков, наглядно характеризующих эмпирическое распределение случайной величины,— гистограммы и полигона.

При построении гистограммы на горизонтальной оси графика откладывают значения, соответствующие границам частичных интервалов, а на вертикальной — частоты или частости, также по отдельным интервалам. Далее строят прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине частичных интервалов, а высоты равны частотам или частостям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник, или гистограмма.

Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получим полигон распределения в виде ломаной линии.

Примеры построения гистограммы и полигона распределения наработки клиновых ремней до первого отказа приведены на рис. 1. По гистограмме и полигону распределения можно заключить, что наиболее вероятная наработка клиновых ремней до первого отказа находится в интервале значений от 300 до 600 ч.

 

Гистограмма и полигон эмпирического распределения наработки клиновых приводных ремней до первого отказа

 

Рис. 1. Гистограмма и полигон эмпирического распределения наработки клиновых приводных ремней до первого отказа.

Числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, таких, как среднее арифметическое значение выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (см. [1], гл. 3), подсчитываются по следующим уравнениям с суммированием по частичным интервалам:

Результаты подсчетов для рассматриваемого примерного задания:

75×0,025+225×0,1+375×0,35+525×0,425+675×0,075+825×0,025=450 ч;

.

Безразмерный коэффициент вариации используется не только как относительная характеристика степени рассеивания случайной величины относительно среднего значения, но и для ориентировочного выбора теоретического закона распределения (ТЗР) случайной величины. Применительно к рассматриваемому заданию при выбирается нормальный закон распределения, а при — закон распределения Вейбулла. Поскольку в примере значение , примем для дальнейших расчетов нормальный закон распределения наработки клиновых ремней до первого отказа. Этот ориентировочный вывод будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия , (А. Н. Колмогорова).

Статистические оценки вероятности безотказной работы и интенсивности отказов клиновых ремней для i-x частичных интервалов подсчитываются по следующим уравнениям:

,

,

где — число изделий в начале испытаний (в рассматриваемом задании =40); — число отказавших изделий к концу 1-го интервала;

— значение наработки в частичном интервале (в примере =150 ч);

— число работоспособных изделий к началу i-го частичного интервала.

Исходные данные для подсчетов и их результаты сводятся в таблицу — см. табл. 2 применительно к рассматриваемому примеру.

Определение статистических оценок и

 

Показатели

Значения показателей по частичным интервалам •

0...150

150..300

  1. .450

.450.. 600

  1. .750
  1. .900

Число отказов за интервал,

1

4

14

17

3

1

Число отказавших изделий к концу интервала,

1

5

19

36

39

40

Число работоспособных изделий к началу интервала,

40

39

35

21

4

1

Статистическая оценка

0,975

0,875

0,525

0,100

0,025

0

Статистическая оценка

0,0002

0,0007

0,0027

0,0054

0,0050

0,0067

 

5. Графики изменения опытной вероятности безотказной работы и эмпирической интегральной функции строятся с использованием соответствующих значений для частичных интервалов из табл. 1 и 2. Пример построения графиков показан на рис. 2. Между обоими показателями надежности существует взаимосвязь, обусловленная уравнением .

6. Интегральная функция распределения F(t) является наиболее общей характеристикой распределения как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Она определяет вероятность того события, что случайная величина будет меньше или равна наперед заданному значению. Интегральная функция распределения F(t) может быть задана аналитически или представлена в виде графика (см. [1], гл. 3).

Значения теоретической интегральной функции для нормального распределения с известными параметрами и (см. [1], с. 97 ... 99) определяются по табличному интегралу Ф(t), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значения функции F(t) в конце i-го частичного интервала принимаются равными значению интеграла Ф(t) по табл. 1 из приложения к [1]. Применительно к рассматриваемому заданию

,

где —верхняя граница i-го частичного интервала значений наработки клиновых ремней до первого отказа;

= 450 ч и =142,3 ч.

Например, верхняя граница i-го частичного интервала ТВ1 =150 ч.

Тогда и по таблице 1 из приложения к [1]

Ф (-2,11)=0,0175-0,018. Следовательно, значение теоретической интегральной функции F(t) в конце первого частичного интервала равно 0,018. Аналогично определяют значения F(t) для других частичных интервалов, записывают их в табл. 3 и наносят найденные значения на рис. 2, получая график теоретической интегральной функции распределения F(t).

7. Проверку соответствия между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки клиновых ремней до первого отказа можно провести с использованием одного из критериев согласия (см. [1], гл. 3), подтверждающего или опровергающего статистическую гипотезу о виде выбранного теоретического закона распределения с принятым уровнем значимости а. Обычно в технических расчетах принимают а равным 0,10, т. е. допускают тем самым в 10 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу.

Таблица 3

Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки клиновых ремней до первого отказа по критерию .

Границы частичных интервалов, ч

0...150

150.. 300

300.. 450

450..600

600.. 750

750..900

Верхняя граница интервала, ТВi , ч

150

300

450

600

750

900

-2.11

-1,05

0

1,05

2,11

3,16

0,018

0,147

0,500

0,853

0,982

0,999

0,025

0,125

0,475

0,900

0,975

1,000

0,007

0,022

0,025

0,047

0,007

0,001

Применительно к рассматриваемому заданию рекомендуется проводить проверку соответствия теоретического и эмпирического распределений по критерию согласия (А. Н. Колмогорова). Для этого по табл. 3 определяют максимальное абсолютное значение разности Dmax между эмпирической и теоретической интегральными функциями распределения для отдельных i-x частичных интервалов, т. е. -

Как следует из табл. 3, Dmax= 0,047, тогда расчетное значение критерия согласия =0,047=0,297. Для =0,297 по табл. 5 из приложения к [1] находим значение = 1,0. Поскольку значение больше принятого уровня значимости =0,10, то принятая гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки клиновых ремней до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

8. Интервальная оценка средней наработки клиновых ремней до первого отказа в отличие от точечной оценки (путем подсчета среднего арифметического значения) позволяет получить результат с наперед заданной достоверностью, или доверительной вероятностью , которую в практических расчетах принимают равной 0,8 или 0,9. По ГОСТ 11.004—74 «Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров нормального распределения, нижняя и верхняя границы доверительного интервала для средней наработки определяются по уравнениям:

где – квантиль распределения t (коэффициент Стьюдента) с степенями свободы для статистической выборки из n значений.

Для =0,9 и = 40 квантиль =0,206.

Тогда в рассматриваемом нами примере

=450-0.206×142,3 = 421,7 ч;

=450 + 0,206×142,3 = 479,3 ч.

Таким образом, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что значение средней наработки клиновых ремней до первого отказа будет находиться в интервале от 421,7 до 479,3 ч.


Определение показателей надежности неремонтируемого объекта - 4.0 out of 5 based on 1 vote

Добавить комментарий


Защитный код
Обновить