Математическое описание упруго-вязкой механической системы

В ряде случаев требуется учитывать упругие деформации механических передач. Это длинные валы, ременные передачи, канаты и другие упругие передачи. Требуется учитывать упругость обрабатываемого материала – бумажное полотно, транспортерная лента или цепь транспортера и других механизмов непрерывной обработки материала.

Чаще всего упругости сводят к случаю, когда выполняются законы Гука (усилия или упругие моменты, возникающие в упругом элементе, пропорциональны соответственно линейным или угловым деформациям):

; ,

где С – коэффициент жесткости.

В ряде механизмов имеются зазоры в передачах, люфты. Это присуще механизмам с большим передаточным отношением, особенно при прямозубых передачах.

Совокупность последовательно соединенных упругих звеньев, на первую из которых воздействует момент двигателя, а выходом является угол поворота последней массы, можно описать эквивалентной двухмассовой упруго - вязкой системой (рис. 5.11), где

; ;

Рис. 5.11. Эквивалентная двухмассовая упруго-вязкая система

Составляющая момента MВТ учитывает потери на трение, так как механическое звено не может быть идеально консервативным. Трение можно разделить на следующие типы:

- сухое (рис. 5.12, а);

- вязкое (рис. 5.12, б);

- гистерезисное (рис. 5.12, в);

- конструктивное в формально неподвижном соединении.

           

 

 

б)                         а)                         в)

Рис.5.12. Характеристики видов трения:

а - сухое трение; б - вязкое трение; в – гистерезисное

Все эти виды трения можно привести к одному эквивалентному – вязкому трению MВТ = в(ω2 – ω1). Тогда структурная схема двухмассовой упруго – вязкой механической системы получит вид, представленный на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Структурная схема двухмассовой упруго – вязкой механической системы.

В данной структуре имеются два входных воздействия (М, Мс) и три выходных координаты (w1, w2, Му ).

Выведем передаточную функцию .

Преобразуем структурную схему рис. 5.13 к виду, представленному на рис. 5.14.

Рис. 5.14. Преобразованная структурная схема двухмассовой упруго – вязкой механической системы с выходом по ω2.

Передаточная функция внутреннего контура:

.

Тогда искомая передаточная функция:

где и - период и частота свободных недемфированных колебаний.

Выведем передаточную функцию . Первоначальную структурную схему (см. рис. 5.13) преобразуем к виду, представленному на рис. 5.15:

Рис. 5.15. Преобразованная структурная схема двухмассовой упруго – вязкой механической системы с выходом по ω1.

Передаточные функции внутреннего и внешнего контуров:

;

Подставим ,

где - коэффициент соотношения масс.

Тогда

Все передаточные функции сведены в табл. 5.1, где приведены также ЛАЧХ второй части передаточных функций, которые отражают влияние упругости.

Во всех передаточных функциях в знаменателе один полином второго порядка, отражающий влияние упругости

,

где , (ξ – коэффициент затухания).

Комплексные корни полинома: .

В подобных системах , поэтому .

Амплитуда резонансного пика колебательного звена второго порядка

.

Чаше всего при исследованиях рассматривается двухмассовая механическая система, способная воспроизвести динамический эффект, адекватный многомассовой [38, 42]. Это правомерно для автоматических систем регулирования, замкнутых по скорости двигателя, когда локальные преобразования упругих звеньев не влияют на динамическое поведение непреобразованной части системы, поскольку характер связи упругой передачи с электроприводом не меняется. Однако для систем регулирования, замкнутых по скорости механизма или какой-либо промежуточной массы, важно из какой точки многомассовой системы будет взята обратная связь по скорости.

Рассмотрим трехмассовую механическую систему, в которой требуется стабилизировать скорость средней массы. К подобной системе можно свести ряд производственных механизмов — испытательные стенды, станки и другие установки [40].

При исследовании таких систем возникает вопрос, какое влияние оказывает одна двухмассовая (парциальная) система на другую и при каких условиях можно пренебречь этим влиянием. Для разрешения проблемы требуется получить оценки взаимосвязанности парциальных систем [41].

За базу для проверки выводимых оценок взаимосвязанности примем системы электропривода контрольно-обкатного станка, предназначенного для определения оптимального монтажного положения гипоидной зубчатой передачи (рис. 5.16).

Влияние упругих связей на математическое описание механической системы. Таблица 5.1.

№ п/п	Передаточная функция	Частотные характеристики звеньев, учитывающие влияние упругости
1
2
3
4
5
6

 

Рис.5.16. Кинематическая схема контрольно-обкатного станка.

Механическая часть станка представляет собой трехмассовую систему из двух шпинделей с контролируемой зубцовой парой, соединенных ременными передачами с двумя двигателями постоянного тока.

Если принять за базовые величины номинальные момент МН и скорость ωН , то исходные системы уравнений для подобной системы в относительных величинах записываются следующим образом:

;

; (1)

;

;

, (2)

где J2 = J2’ + i2 J2’’;

- парциальные собственные частоты недемпфированных колебаний,

Характеристический полином при пренебрежении вязким трением имеет вид

Собственные частоты трехмассовой механической системы:

где :

γ1 , γ2 – коэффициенты соотношения масс,

.

Структурные схемы механической трехмассовой системы с выходам по скоростям или упругим моментам, построенные согласно системе формул (I) и (2), представлены на рис. 5.17 .

а

б

Рис. 5.17. Структурные схемы трехмассовой упруго-диссипативной системы: а - исходная; б - преобразованная с выходом по упругим моментам

Проведем анализ взаимосвязанности парциальных систем друг на друга, дадим оценку, когда можно рассматривать парциальные системы независимо друг от друга.

Наиболее просто производить оценку взаимосвязанности парциалъных систем по упругому моменту, что позволяет в дальнейшем оценить влияние парциальных систем друг на друга и по скорости отдельных масс. Рассмотрим оценку взаимосвязанности по передаточным функциям, получаемым из рис. 5.17, б и соответствующим логарифмическим частотным характеристикам.

Согласно рис. 5.17, б можно записать:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

где - передаточные функции для парциальных систем без учета взаимосвязи;

- передаточные функции с учетом взаимосвязанности отдельных парциальных систем;

ФВЗ(р) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке, учитывающая взаимосвязанность парциальных систем.

Запишем условие слабой взаимосвязанности:

arg [ФВЗ(jω)] 0. (10)

На рис. 5.18, 5.19, 5.20 построены ЛАЧХ и ЛФНХ для передаточных функций, рассчитанных по выражениям (3)-(9) для параметров:

C1 = C2 = 3,5·10 -3 Нм/рад; в1 = в2 = 2,3 Нм·с/рад;

с-1; с-1; с-1; с-1;

γ1 = 0,2 ; γ2 = 0,018.

Анализ ЛАЧХ и ЛФНХ показывает, что условие (10) в данном случае выполняется. При этом можно пренебречь влиянием парциальных систем друг на друга и рассматривать их как независимые, так как пренебрежение выражением (9) дает погрешность при построении частотных характеристик не более 0,7 дб по амплитуде и 6 0 по фазе.

Рис. 5.18. Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики отдельных парциальных систем без взаимного влияния друг на друга

Рис. 5.19. Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики отдельных парциальных систем с взаимным влиянием друг на друга

Рис. 5.20. Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики оценки взаимовлияния ФВЗ(jω)

Оценим взаимосвязанность отдельных механических систем по упругому моменту аналитическими методами, не строя частотных характеристик. Решение уравнения (2) для свободных недемпфированных колебаний может быть записано в виде:

где

;

,

где - коэффициент соотношения парциальных частот;

- коэффициент, введенный Л. И.Мандельштамом [37].

Учитывая, что ,

получаем после преобразования:

(11 )

.

Из выражений (11) следует, что условием слабой взаимосвязи упругих моментов двух парциальных механических систем является:

σ << 1. (12)

При этом Κ1 << 1; Κ2 << 1.

Но выражение (12) не позволяет оценить степень влияния парциальных систем друг на друга по отдельным взаимным связям. Поэтому для крутильных многомассных систем предлагаются раздельные оценки влияния одной парциальной системы на другую. Оценим влияние по появляющейся величине упругого момента в соседней парциальной системе при появлении упругого момента в первоначальной парциальной системе. (см. рис. 5.17, б ):

Условия слабого влияния парциальных систем друг на друга:

<< 1; << 1; (13)

При этом

. (14)

Коэффициент σ1У характеризует степень связи от первой парциальной системы ко второй; коэффициент σ2У - степень связи от второй парциальной системы к первой. Последнее равенство объясняется тем, что К1 физически также характеризует относительную силу влияния первой главной формы колебаний упругого момента во второй парциальной системе, а К2 – относительную слабость второй главной формы колебаний в первой парциальной системе.

Согласно (14) отношение степени влияния первой парциальной системы на вторую к степени влияния второй парциальной системы на первую равно отношению коэффициентов жесткости второй и первой парциальных систем и не зависит от соотношения масс и передаточного отношения. Величины маховых масс и передаточного отношения влияют лишь на величину собственных частот и коэффициентов взаимосвязи.

Распределение колебаний углов и скоростей отдельных масс при совпадении частот возмущений с собственными можно рассчитать для главных форм колебаний при пренебрежении демпфированием. Главные формы крутильных колебаний также позволяют приближенно оценить взаимосвязанность парциальных систем [41]. Однако получаемые оценки взаимосвязанности получаются более сложными, чем по выражению (13).

На рис. 5.21 показаны относительные амплитуды главных форм колебаний упругих моментов и углов для принятой трехмассовой упруго-диссипативной системы. При этом коэффициенты взаимосвязанности для выше приведенных расчетных параметров будут следующими:

Рис. 5.21. Главные формы колебаний упругих моментов (а) и углов (б) при свободных недемпфированных колебаниях с собственными частотами.

При данных значениях коэффициентов взаимосвязанности взаимовлияние уже невелико, что следует из приведенного выше анализа частотных характеристик и главных форм колебаний. При предварительном анализе наиболее просто можно оценить взаимосвязанность, используя предложенные коэффициенты взаимосвязи (13).