Графический метод кинематического анализа (метод планов)
Весь метод сводится к определению скорости и ускорения характерных точек механизма. Планы скоростей построим для всех восьми положений, а планы ускорений для двух положений (рабочего и холостого хода). Примем центы тяжести звеньев по их середине. Шарнир на четырех звеньях имеет три центра масс.
, [c-1]
отсюда
, => ,где , равное 80 мм, принято произвольно. На плане скоростей, скорость точки А можно выразить вектором (). Скорость точки В можно представить двумя векторными уравнениями в относительном ее движении вокруг точек А и О1.
Скорость любой точки можно представить как сумму относительной и переносной скоростей.
,где VBA–относительная скорость точки В вокруг точки А, она ^АВ.
–относительная скорость точки В вокруг точки О1, она ^ВО1
Построение :
Произвольно выбираем полюс PV. Вектор ^ звену ОА и направлен от полюса в сторону вращения звена. Проведем линию ^ АВ через точку а плана скоростей, а через полюс – проведем линию ^ ВО1. На пересечении получим точку b – конец вектора. Скорость точки В определяем по формуле:
.
Направление скорости точки В определяется направлением вектора (). Вектор (аb) изображает скорость VBA точки B в относительном вращении вокруг точки А. Скорость VBA определяем по формуле:
,.
Вектор (О1В) или () изображает скорость VBO1 точки B в относительном вращении вокруг О1, которая определяется по формуле указанной выше.
Центр масс звена АВС находится на пересечении медиан ∆АВС. Положение точки С на плане скоростей определяется по теореме подобия. На отрезке ab плана скоростей строим ∆abc подобный треугольник АВС звена 2. Длину ac определим из cследующей пропорции:
.
Из точки a плана скоростей откладываем отрезок ac под углом b, так чтобы после соединения точек а и с чтение букв на плане скоростей совпадало с чтением букв на плане положений. Скорость точки С определяем по формуле:
,.
Согласно этому свойству подобия определим скорость S1, S2, S3. Точка S1 лежит на середине (), S2 – на пресечении медиан ∆abc, а точка S3 — на середине ().
Аналогично строим все остальные положения.
В соответствии с планом положений механизма определим угловые скорости звеньев
[с-1], [с-1]
Для определения направления угловых скоростей необходимо из плана скоростей перенести вектор соответствующий относительной скорости в план положений в точку приложения, направление этого вектора определит направление угловой скорости. Например, будет направлена в том же направлении, в котором будет вращаться точка В вокруг точка А, если из плана скоростей перенести вектор (ab), относительной скорости VBA в точку В.
Первое положение.
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Второе положение.
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Третье положение:
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Четвертое положение:
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Пятое положение:
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Шестое положение:
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Седьмое положение:
; ,,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Восьмое (нулевое) положение:
;
,
,
,
,
[с-1], [с-1]
, => .
Сводная таблица
1 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
VA |
||||||||
VB= VBO1 |
||||||||
VC |
||||||||
VBA |
||||||||
VS1 |
||||||||
VS2 |
||||||||
VS3 |
||||||||
WAB |
||||||||
WBO1 |
Проведем сравнительную характеристику двух методов.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
VB д м/с |
0 |
|||||||
VB п м/с |
0 |
|||||||
∆,% |
0 |
Планы ускорений
Определим ускорение точки А. Она, имеет только нормальное ускорение, которое направлено по звену ОА к центру вращения (точка О).
. Определим масштаб плана ускорения по формуле:
,
где (πA) – отображение ускорения точки А на плане ускорений, принимаемое произвольно (80мм). Откладываем отрезок (πa) по направлению от полюса π к точке a(параллельно звену АО).
Рассмотрим движение точки В по аналогии с планом скоростей можно записать векторные уравнения
,где полное и относительное ускорения и представляем в виде суммы двух составляющих:
– нормальной, направленной по оси соответствующего звена, к центру вращения:
– тангенсальной, перпендикулярной этому звену.
В этой системе уравнений ускорение точки А известно по величине и направлению, а ускорение т. О1=0. Определим по величине нормальные ускорения
.
Ускорение направлено по звену АВ от точки В к точке А, а ускорение по звену ВО1 от точки В к точке О1. Тангенсальные ускорения известны только по линиям их действия ^ АВ, а ^ ВО1 величины тангенсальных ускорений определим из построения.
Построение :
Из точки a плана ускорений ║АВ откладываем вектор (аn1) изображающий ускорение . Его величина определяется по формуле:
,
Через точку n1 проводим линию действия ускорения ^ АВ. Затем от полюса p(О1) откладываем (pn2) изображающий ускорение , величина которого определяется по формуле:
, где .
Через точку n2 проводим линию действия ускорения ^ ВО1, на пересечении этих линий действия получим точку b. Соединяем точку p и точку b. Получим вектор (pb) изображающий ускорение точки В [м/с2].
Точка b определяет векторы (pn1) и (pn2) тангенсальных ускорений и , величины которых определяем по формулам:
, а .
Вектор (ab) изображает полное относительное ускорение , которое определяется по формуле:
.
Вектор полного ускорения звена ВО1 совпадает с вектором (pb), и равно
.
Ускорение точки С получаем по теореме подобия. Для этого в плане ускорений необходимо построить ∆abc подобный ∆АВС. Величину ac определяем из пропорции
.
Сторону ac на плане ускорений строим под углом β таким образом, чтобы чтение букв a, b,c совпадало с чтением A, B,C. Полученную точку c соединяем с полюсом p. Вектор (pс) определяет ускорение точки С, которое определятся по формуле:
.
Ускорение центров масс определяется аналогично определению их скоростей.
Определим угловые ускорения
, .
Для определения направления углового ускорения ξАВ рассмотрим вращение точки В вокруг точки А. Перенесем мысленно вектор (n1b) тангенсального ускорения в точку В плана положений. В направлении этого вектора точка В вращается вокруг точки А, что и определяет направление ξАВ
Сводная таблица
аА м/с2 |
||
аВ м/с2 |
||
аС м/с2 |
||
аВАn м/с2 |
||
аВА м/с2 |
||
aВО1n м/с2 |
||
аВО1 м/с2 |
||
ξАВ с-2 |
||
ξАВ с-2 |
Проведем сравнение результатов построений и вычислений
аВ д м/с2 |
||
аВ п м/с2 |
||
∆ % |