Однофакторные эксперименты и оценка их результатов.
Методика проведения однофакторного эксперимента: из группы факторов (переменных), влияющих на функцию отклика, выбирают один, остальные поддерживают постоянными.
Классический однофакторный эксперимент: каждый их факторов Xj поочередно варьируется на двух уровнях – верхнем Xjmax =+1 и нижнем Xjmin=-1, остальные факторы поддерживают на основном уровне Х=0.
Как правило, при проведении однофакторных экспериментов выбранный интервал D Xj делят на несколько отрезков. Шаг может быть как постоянным, так и переменным. Сняв зависимости yj=f(xj), анализируют каждую из них. Для этого пользуются процедурами аппроксимации или регрессионного анализа.
Задачей регрессионного анализа является вычисление параметров и статистическое исследование математических моделей, полученных на основе экспериментальных данных, часто без учета механизмов и физической сущности процессов и явлений. Полученная таким образом функция y=f(x) называется уравнением регрессии или моделью. Параметры модели называются коэффициентами регрессии. Поверхность, описываемая уравнением регрессии и являющаяся геометрическим образом процесса, называется поверхностью отклика.
Если одному значению х соответствует несколько значений (совокупность) у, то такие модели называют регрессионными (корреляционными). Каждому значению аргумента х соответствует статистический ряд распределения отклика у. Если между х и у существует зависимость, т. е. с изменением х меняется и у, то говорят, что эти величины коррелированны. Критерием оценки этой зависимости служит коэффициент корреляции r. Если есть ряд У(Х), то выборочный коэффициент корреляции
(3.8)
Коэффициент корреляции rxy изменяется в пределах -1≤ rxy ≤+1. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем выше степень зависимости у от х.
Не всякое значение выборочного коэффициента корреляции является достаточным для статистического обоснования выводов о наличии действительно надежной корреляционной связи между фактором и откликом. Надежность статистических характеристик ослабевает с уменьшением объема выборки (n).
Так, при n=2 через две экспериментальные точки можно провести только одну прямую и зависимость будет функциональной, при этом выборочный коэффициент корреляции равен единице (rxy =1). Однако это не означает надежность полученных статистических характеристик в силу малого объема выборки. Значит, вычислять коэффициент корреляции по результатам двух наблюдений бессмысленно, так как он заведомо будет равен единице, и это будет обусловлено не свойствами переменных и их взаимным отношением, а только числом наблюдений.
В связи с этим требуется проверка того, насколько значимо отличается выборочный коэффициент корреляции rxy от его действительного значения rxy*(при n→∞). При достаточно большом объеме выборки rxy= rxy*.
Таким образом, требуется проверка значимости выборочного коэффициента парной корреляции и оценка его доверительного интервала. Расчет такой оценки см. пример 4.5.
Практически любую зависимость можно описать многочленом n–ной степени:
(3.9)
Кроме этого, в качестве аппроксимирующих функций могут использоваться линейная, показательная, степенная, логарифмическая, гиперболическая и дробно-рациональная.
Для выбора вида аппроксимирующей функции используется следующая методика. Вблизи границ интервала выбирают узлы хa и хb с достоверными значениями у(хa)= уa и у(хb)=уb. Затем рассчитывают
- среднеарифметическое xар=(хa + хb)/2; уар= (уa +уb)/2;
- среднегеометрическое
- среднегармоническое xгр= 2хa хb/(хa + хb); yгр= 2ya yb/(ya + yb).
После этого вычислением или интерполяцией определяют y(xар), y(xгм), y(xгр), вычисляют модули разности согласно таблице 3.2 и по минимальному значению модуля разности выбирают функцию.
Таблица 3.2 Выбор вида аппроксимирующей функции
Модуль разности (минимальное значение) |
Аппроксимирующая функция |
|
Y(xар)- уар |
Линейная |
y=ax+b |
Y(xар)- угм |
Показательная |
y=abx |
Y(xгм)- угм |
Степенная |
y=axb |
Y(xгм)- уар |
Логарифмическая |
y=alnx+b |
Y(xгр)- уар |
Гиперболическая |
y=a+b/x |
Y(xар)- угр |
Дробно-рациональная 1 |
y=1/(ax+b) |
Y(xгр)- угр |
Дробно-рациональная 2 |
y=x/(ax+b) |
Коэффициенты a и b эмпирических формул вычисляют методом неопределенных коэффициентов или методом наименьших квадратов.
После получения уравнения регрессии его анализируют на однородность дисперсий, значимость коэффициентов и адекватность.