Пример решения задачи: Аналитическая кинематика кривошипно-ползунного механизма (содержит три этапа)

Контрольная работа по технической механике. Раздел 1. Машины и механизмы

Этап I. 

Провести аналитическое исследование кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис.1.1 , а именно: найти перемещение xC, скорость υС и ускорение аС ползуна С в зависимости от значения угла φ1.

Рис.1.1 Схема кривошипно-ползунного механизма

Прежде чем получить вариант с исходными данными, изучите пункт 1.4.2 Аналитический метод кинематического анализа теоретического материала и пример 1, который приводится ниже:

Пример1. Провести аналитическое исследование кривошипно-ползунного механизма, а именно: найти перемещение, скорость и ускорение ползуна С в зависимости от значения угла φ1. Для расчета принять: d =0,07м; r =0,2м; l =0,8м, ω1=1с–1, (ε1=0), φ1=π/3.

Теоретическое сопровождение задачи:

При вращении кривошипа АВ с заданной угловой скоростью ω1= d φ1/ dt

ползун С совершает возвратно поступательное движение. Такого типа механизмы используют в поршневых двигателях, насосах, компрессорах и других машинах. Для того чтобы кривошип АВ имел возможность совершать полный оборот, размеры звеньев АВ и ВС механизма должны удовлетворять неравенству

λ = AB /BC = r / l <1. (п.1)

Суть аналитического исследования кинематики данного механизма состоит в установлении геометрической (векторной) связи между положением ведущего звена (кривошипа) и положениями других (ведомых) звеньев.

В частности нас интересует связь xc=f(φ1). Зная такую связь, путем дифференцирования по времени определяется скорость υС и затем ускорение аСползуна С в зависимости от значения угла φ1. Аналогично определяется также положение, скорость и ускорение других ведомых звеньев.

Скорости ведомых звеньев. Если искомое К -е ведомое звено движется поступательно, то линейная скорость К - го звена будет определяться следующим образом

(п.2)

Координату φ1 = q называют обобщенной координатой (безразмерная величина), а

- обобщенной скоростью механизма, [ ω 1=1/ c ].

Если ведомое N -е звено совершает вращательное движение, то его угловая скорость определяется зависимостью

; (п.3)

Здесь и –аналоги скорости для К -го поступательного и N -го вращающегося звена .

Значения и называют ещё передаточными функциями (отношениями) IK -1 и UN -1 , так как их можно преобразовать, умножив и разделив его на величину dt:

, ( п. 4)

(п.5)

Вывод: Если определить передаточные функции IK -1 и UN -1, то скорости ведомых K -го и N -го звеньев находятся как

(п.6)

Ускорения ведомых звеньев. Перепишем уравнение (п.2)

и продифференцируем его по времени. Так определим линейное ускорение aK К-го звена:

(п.7)

Величина

– аналог ускорения К-го звена, совершающего поступательное движение (вторая передаточная функция).

Угловое ускорение εN N -го звена определяется зависимостью, получаемой дифференцированием уравнения (п.3)

по dt :

(п.8)

Величина

– аналог ускорения N -го звена, совершающего вращательное движение.

В частности, если ведущее звено (кривошип) вращается равномерно, то

,

и формулы (п.7) и (п.8) упрощаются:

(п.9)

Итак, для аналитического анализа механизма необходимо найти зависимости для первых IK-1 и UN-1 и вторых I′K-1 и U′N-1 передаточных функций, а затем использовать соотношения (п.6) и (п.8) или (п.9).

___________________________________

Вычертим механизм в соответствии с данными задачи и рассмотрим замкнутый векторный контур OABCO (рис 1.2).

Рис.1.2 Замкнутый векторный контур кривошипно-ползунного механизма

Соблюдая единообразие отсчёта углов, определяющих положение звеньев, составим векторное уравнение

(п.10)

Введем угол ψ=2π –φ2 и спроектируем (п.10) на координатные оси Х и Y:

(п.11)

. (п.12)

Здесь угол ψ - (угол давления) введен для удобства, поскольку φ2 тупой угол. При этом, очевидно, что передаточная функция выражается через ψ следующим образом:

(п.13)

Решение задачи о положениях. Определим функции положения ползуна xс (φ1 ) и шатунаφ2 (φ1 ).

Из (п.14) получаем

откуда

Далее, из (п.11) получим координату положения ползуна:

. (п.14)

Расчет:

=

Решение задачи о скоростях:

Определим аналоги скорости ползуна

и шатуна

для чего продифференцируем по обобщенной координате φ1уравнение (п.12)

; (п.15)

и (п.14):

(п.16)

Сначала из уравнения (п.15) выразим аналог скорости (передаточное отношение U 2-1 ) шатуна

(п.17)

Из уравнения (п.16) с учетом (п.17) получаем аналог скорости ползуна (передаточное отношение I С-1 )

(п.18)

Выражения (п.17) и (п.18)показывают, что передаточные функции U 2-1 и I С-1 зависят только от положения механизма φ1, его геометрии и не зависят от скорости ω1 начального звена.

Угловая скорость шатуна относительно точки В :

(п.19)

Линейная скорость ползуна

(п.20)

Расчеты:

Из (п.17) и (п.19) найдем функцию, передающую вращение от кривошипа к шатуну и его угловую скорость:

Знак «–» у угловой скорости шатуна ω2 означает, что угол φ2 в последующий момент времени станет меньше, а угол ψ – больше.

Из уравнений (п.18) и (п.20) определим аналог скорости и саму скорость ползуна:

Здесь, знак «–» у линейной скорости ползуна означает, что координата x С уменьшается, ползун движется влево.

Решение задачи об ускорениях:

Поскольку ведущее звено(кривошип) вращается равномерно, то для нахождения ускорений шатуна и ползуна используем сокращенные формулы (п.9)

(п.9`)

Определим аналог ускорения шатуна

для чего продифференцируем уравнение (п.17)

по dφ1 :

Поскольку согласно (п.17)

окончательно для U ’ 2-1 получим:

(п.21)

Аналогично найдем производную от первой передаточной функции ползуна :

Угловое ускорение шатуна вычислим по формуле

,

а линейное ускорение ползуна :

Расчет :

Ответ: В момент времени, когда выполняются условия задачи:

- положение точки С на ползуне xc =0,862 м

- угол между кривошипом и шатуном φ2= 342,30

- угол давления ψ=17,70

- угловая скорость шатуна ω2= – 0,131 1/с

- линейная скорость ползуна υ с=– 0,205 м/с

- угловое ускорение шатуна ε 2=0,222 1/с2

- ускорение ползуна ас = – 0,059 м/с2.

Приведем графики изменения рассчитанных параметров в зависимости от угла φ1, рассчитанные для двух оборотов кривошипа:

Этап II. Силовой ( динамический ) анализ механизма.

К звену ВС кривошипно-ползунного механизма (рис.1.1) приложен момент М = 12 кНм, к точке С - сила F = 20 кН. Используя результаты расчета Вашего варианта и заданные массу ползуна mc и момент инерции шатуна I2 вычислите:

1) - кинетическую энергию механизма и 2)-выполните приведение моментов и сил к звену А B. Массой кривошипа и силами трения пренебречь.

Для выполнения этапа №2 разберите пункты 1.5.3 Кинетическая энергия, приведенная масса, приведенный момент инерции механизма и 1.5.4 Приведенная сила и приведенный момент сил из теоретического материала и пример 2 после этого пункта:

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ, ПРИВЕДЕННАЯ МАССА, ПРИВЕДЕННЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ МЕХАНИЗМА

Анализ движения машинного агрегата, находящегося под действием приложенных к нему внешних сил, удобно проводить с использованием метода приведения масс и сил к какому-либо звену механизма. Он сводится к анализу динамики тела (звена приведения), к которому приведены все внешние силы и моменты. Чаще всего звеном приведения выступает ведущее звено механизма.

Кинетическая энергия механизма. Для i -го звена, совершающего сложное движение (например, для шатуна кривошипно-ползунного механизма), кинетическую энергию можно выразить формулой

,

где первое слагаемое правой части – это кинетическая энергия поступательного движения центра масс звена; второе слагаемое – кинетическая энергия вращательного движения; mi – масса звена; υsi – скорость центра масс; Isi – момент инерции звена относительно центра масс; ω i – угловая скорость звена.

Для всего механизма кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма:

, (п.23)

где n – количество подвижных звеньев.

Приведенная масса механизма. Условно заменим механизм его динамической моделью. Например, кривошипно-ползунный механизм (рис. 2.1) заменим динамической моделью, состоящей из стойки и кривошипа.

Рис. 2.1 Замена кривошипно-ползунного механизма динамической моделью

Здесь ОB – звено приведения механизма, в котором как бы сосредоточена инертность всех звеньев механизма, B – точка приведения.

Уравнение (п.23) умножим и разделим на квадрат скорости точки приведения υ В :

.

Выражение в квадратных скобках имеет размерность массы (кг) и называется приведенной массой mпр механизма в точке В :

. (п.24)

Приведенной массой механизма называется такая условная масса, которая как бы сосредоточена в точке приведения механизма, кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.

Тогда

, (п.25)

Приведенный момент инерции. Так как υB = ω1lAB , где lAB – длина звена приведения, ω1– его угловая скорость, то кинетическую энергию механизма можно выразить уравнением

,

где приведенный момент инерции механизма

. (п.26)

Приведенным моментом инерции механизма (используется, если звено приведения совершает плоскопараллельное движение) называется такой условный момент инерции, которым как бы обладает звено приведения относительно оси вращения, кинетическая энергия которого (при таком моменте инерции) равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма.

Важно, что величины mпр и Iпр не являются постоянными для данного механизма, а меняют свое численное значение в зависимости от положений звеньев, так как звенья меняют свои скорости.

Расчет:

υB = ω · lAB = ω · r =0,2 м/с;

Приведенная сила и приведенный момент сил. Приведенной силой FПр называется условная сила, приложенная в точке приведения, и определяемая из равенства элементарной работы этой силы (в единицу времени) А = FПр · υпр сумме работ сил Fi и пар сил Mi, действующих на звенья механизма.

(п.27)

Аналогично определяется приведенной момент сил MПр — условный момент сил, действующий на звено приведения, и определяемый из равенства элементарной работы (в единицу времени) А = M Пр · ω сумме работ сил Fi и пар сил Mi , действующих на звенья механизма.

(п.28)

Расчет:

Здесь при расчете учтены направления скоростей υС и силы F , ω2 и момента M.

Таким образом, динамической моделью механизма является механизм первого класса, для угла поворота кривошипа φ1=π/3:

- кинетическая энергия механизма Екин=0,764Дж;
- приведенная масса m пр = 38,25 кг;
- приведенные момент инерции I Пр = 1,53кг∙м2;
- приведенные сила F Пр =12,64 Н ; и
- момент сил М Пр = 2,53 кНм;

Графики изменения рассчитанных параметров в зависимости от угла φ1, рассчитанные для двух оборотов кривошипа:

Этап III.

Рассчитайте для данных задачи ход ползуна S0= Smax – Smin и максимальные значения углов давления ψ1 max и ψ2 max. Рассчитайте новое значение эксцентриситета d 1, при котором ход ползуна увеличится в 1,1 раза.

Для выполнения этапа №3 разберите параграф 2.3 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГОМЕХАНИЗМА С УЧЕТОМ УГЛОВ ДАВЛЕНИЯ и пример 3:

Пример 3. Заданы : r —длина кривошипа АB, l — длина шатуна ВC, d — эксцентриситет.

Требуется определить: S0= Smax – Smin – ход ползуна, ψ1max и ψ2max - максимальные значения углов давления.

Расчетные схемы рис. 3.1 и 3.2:

Рис. 3.1 Углы давления в кривошипно-ползунном механизме

Рис. 3.2. Крайние положения ползуна (мертвые точки) в кривошипно-ползунном механизме

Расчетные уравнения (из рассмотрения схем):

(п.29 )

Для определения трех неизвестных параметров схемы составлено три уравнения. Их решение не составит труда

УКАЗАНИЯ по заполнению ответов

1. Для обозначения размерности следует использовать систему СИ.

2. Числа типа

q = 1,614•10−19 Кл,

υ = 2,28•107 м/с

следует представлять в виде:

q =1,614Е−19 Кл,

υ = 2,28Е7 м/с.

Обратите внимание на два обстоятельства.

Первое: приводим число к нормализованной записи, сохранив в ней единицы, т. е.

489,567 •10−6 = 4,89567 •10−4;

0,0067842•10−19= 6,7842•10−22.

Второе: после запятой оставляем три значащих цифры:

4,89567 •10−4= 4,896 •10−4 =4,896Е−4;

6,7842•10−22= 6,784•10−22 = 6,784Е−22.

Букву E набираем латиницей!

3. При решении задач не ищите готовых формул для нахождения ответа. Исходите из фундаментальных, основополагающих законов и постулатов и выводите расчетную формулу сами!