Уравновешивание механизма с вращающимися массами

При вращении звеньев с большой угловой скоростью даже сравнительно небольшие неуравновешенные массы этих звеньев, могут быть причиной возникновения огромных сил инерции переменного направления и соответствующих динамических реакций подшипников. Эти силы полностью передаются на опоры, что часто приводит к быстрому износу элементов кинематических пар, к вибрациям корпуса и в отдельных случаях к поломке.

Пользуясь методом кинетостатики, можно показать, что, обращая в нуль главный вектор и главный момент сил инерции, обращаем в нуль главный вектор и главный момент этих сил. Поэтому задачу об уравновешивании масс часто называют задачей об уравновешивании сил инерции.

Задача 5.1. При вращении массы т = 100кг (рис. 25), расположенной на расстоянии = 10мм от оси О, с частотой п = 10 000об/мин, угловая скорость

1/с;

ускорение центра тяжести

 a_s=r_s  = 0,01× = 10 000м/с2;

сила инерции

P_u=ma_s= 100×10 000= 1 000 000Н.

Таким образом, в рассматриваемом случае сила инерции превосходит вес тела G в 1000 раз. Отсюда вытекает необходимость уравновешивания сил инерции звеньев.

Существуют два вида уравновешивания сил инерции механизмов, в том числе имеющих только вращающиеся массы:

1) уравновешивание (полное или частичное) главного вектора сил инерции подвижных звеньев механизма;

2) уравновешивание главного вектора и главного момента сил инерции звеньев механизма.

Некоторые авторы называют первый вид уравновешивания статическим, а второй - полным, или динамическим.

Уравновешивание масс, вращающихся в одной плоскости. Вращающиеся звенья, имеющие небольшую ширину по сравнению с диаметром (маховики, зубчатые колеса, шлифовальные круги, диски, пропеллеры и др.) можно рассматривать в каждом случае как систему точечных масс, расположенных в одной плоскости. Для вращающихся точечных масс, находящихся в одной плоскости, достаточно произвести статическое уравновешивание - в этом случае одновременно выполняются условия полного уравновешивания.

Условием статического уравновешивания для таких масс является равенство нулю главного вектора центробежных сил инерции:

или

(5.1)

Это значит, что координаты центра тяжести уравновешенной системы масс равны нулю:

(5.2)

Задача 5.2. Для уравновешивания силы инерции массы т (рис. 26, а) на продолжении радиуса ее расположения (с противоположной стороны от оси вращения О) ставится противовес (рис. 26, б), при вращении развивающий силу инерции

 

 

 

 

рис. 26

Из этого условия вытекает равенство статических моментов масс:

Для уравновешивания сил инерции одной вращающейся массы достаточно установить один противовес, удовлетворяющий условию статического уравновешивания, т. е.

; = 0. (5.3)

Задача 5.3. Требуется уравновесить три вращающиеся в одной плоскости массы. Для уравновешивания сил инерции нескольких масс, вращающихся в одной плоскости (рис. 27, а), достаточно установить один противовес (рис. 27, в). Центробежная сила инерции , развиваемая этим

рис. 27

противовесом, должна быть равной по модулю, но противоположной по направлению равнодействующей R сил инерции данных масс (рис. 27, б):

где

Тогда главный вектор уравновешенной системы сил инерции будет равен нулю:

,

т. е.

(5.4)

После подстановки выражений в уравнение (5.4) получим

(5.5)

или

Из выражения для координаты центра тяжести

(5.6)

ясно, что при координата центра тяжести уравновешенной системы масс будет также равна нулю Следовательно, признаком статического уравновешивания является совпадение центра тяжести S с осью вращения О.

Уравновешивание масс, вращающихся в параллельных плоскостях. При равномерном вращении тела вокруг оси у к каждой элементарной массе т можно считать приложенной силу инерции (рис. 28)

 

 

 

 

 

 

 

рис. 28

.

Сила cosφ создает относительно оси z момент , а сила sinφ относительно оси х - момент .

Вращающееся тело состоит из бесчисленного множества элементарных масс , удаленных на расстояние от оси вращения и на расстояние - от плоскости zx, проходящей через центр S масс тела. Поэтому результирующая сила инерции (главный вектор) всего тела будет:

  (5.6)

а результирующий момент всех сил инерции (главный момент) относительно плоскости, проходящей через центр масс S,

. (5.7)

Вектор называют статическим моментом и, как известно из механики, равен , где т - масса всего тела, a - расстояние центра S масс тела от оси вращения. Формулу (5.6) можно записать в таком виде:

. (5.8)

Вектор представляет собой центробежный момент инерции относительно оси вращения и плоскости, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центр масс тела. Обозначив этот момент инерции через , из формулы (5.7) получим

. (5.9)

Массы, вращающиеся в разных плоскостях. Выбираем две произвольные перпендикулярные к оси вращения плоскости I, II и разносим в них заданные массы. Для этого каждую массу заменяем двумя массами, расположенными в плоскостях I, II так, чтобы их сумма равнялась заданной массе, а отношение было обратно пропорционально расстояниям от заданной массы до плоскостей I, II; эти условия будут справедливыми, если массы находятся между плоскостями I, II. Так, массу (рис. 29, а) заменяем массами , пользуясь выражениями

(5.10)

Радиус-векторы полученных масс те же, что и заданных (,…). Для уравновешивания этих масс нужны два противовеса: один в плоскости I, другой - II. Каждый из противовесов определяем методом, рассмотренным выше.

Векторные многоугольники инерционных усилий изображены на рис. 29, в, г.

Задача 5.4. Уравновесить четыре массы противовесами в плоскостях I, II (рис. 30, а) при таких данных: а1=0,2; а2 = 0,4; а3= 0,6; а4 = 0,8; l=1; r1 = 0,1; r2 = 0,2; r3 = 0,3; r4 = 0,4; m1 = 2; m2 = 1; m3 = 1; m4 = 0,5 (расстояния в метрах, массы в килограммах).

Обозначаем через единичные векторы, параллельные векторам ri. Тогда можно записать:

(a)

(б)

Векторная сумма (б) показана на рис. 30, в. Из него находим:

Из рис. 30, г, построенного по формуле (а), имеем = - 0,187 cos 60°15' = - 0,187×0,496 = - 0,093; = 0,1 - 0,187 sin 60°15' = 0,1-0,187×0,868 = - 0,063, откуда = 0,113 кгм; tgβ = 0,678; β = 34°08'.

Задача 5.5. Уравновесить две массы т1, т2, расположенные под углом 180° друг к другу противовесами в плоскостях I, II (рис. 31, а) при а1 = 0,2; а2 = 0,6; l = 0,4; r1=0,3; r2 = 0,5; т1 = 3; т2 = 2.

Применяем метод разноса масс. Пользуясь уравнениями (5.10), получаем откуда = = 1,5кг.

Поскольку плоскости I, II расположены по одну сторону от массы т2, расстояние от плоскости II до этой массы отрицательное. Тогда

Отрицательная масса, расположенная на радиус-векторе r, эквивалентна такой же дополнительной массе с радиус-вектором - r.

На рис. 31, б приведено расположение заменяющих масс и противовесов. Последние удовлетворяют таким соотношениям:

Массы плоского механизма, сосредоточенные в одной плоскости. Для уравновешивания необходимо, чтобы главный вектор инерционных сил = 0. Это достигается при неизменном положении центра масс.

Подбор противовесов покажем на примерах.

Задача 5.6. Центры тяжести звеньев, шарнирного четырехзвенника находятся в точках Sl, S2, S3. Массы звеньев m1 ,m2 ,m3. Подобрать противовесы (рис. 32, а).

Существует несколько вариантов решения.

Решение 1. Противовесы установлены на звеньях ОА, ВС (рис. 32, б). Разносим массу m2 в точки А, В:

(а)

На продолжениях звеньев ОА, СВ устанавливаем массы , . Величины масс и расстояния должны удовлетворять следующим условиям:

(б)

Центр масс находится, в точке О, масс в точке С, центр масс механизма вместе с противовесами в некоторой постоянной точке на отрезке ОС.

Решение 2 Противовесы установлены на звеньях ОА, АВ (рис. 32, в). Разносим массу т3 в точки С, В:

откуда:

(в)

На продолжении звена АВ за точкой А на расстоянии ρ2' устанавливаем противовес с массой μ2', которую подбираем так, чтобы центр масс находился в точке А:

. (г)

На продолжении кривошипа ОА на расстоянии ρ1'от точки О устанавливаем противовес с массой μ1', удовлетворяя равенству

(д)

Решение 3. Противовесы установлены на звеньях ОА, АВ, ВС (рис. 32, г). На продолжении звена ВС за точкой В на расстоянии , устанавливаем противовес с массой , которую подбираем так, чтобы центр масс т3, был в точке В:

(е)

На продолжении звена АВ за точкой А на расстоянии устанавливаем массу так, чтобы

(ж)

В этом случае центр масс , тг,, т3 будет в точке А. Наконец, на звене ОА за точкой О на расстоянии устанавливаем массу :

(з)

Численный пример. ОА = 120мм; АВ =400мм; ВС = 280мм; OS= 75мм; АS2 = 200мм; BS3 = 130мм; т1 = 0,1кг; т2 = 0,8кг; т3 = 0,4кг. Определить массы противовесов по варианту (3), полагая = 100мм; = 200мм; =130мм.

Из уравнений (е), (ж), (з) находим

Задача 5.7. Центры тяжести звеньев четырехзвенника расположены в точках S1, S2, S3. Массы звеньев т1, т2, т3 (рис. 33, а). Подобрать противовесы на звеньях ОА, АВ.

Массу т3 разносим в точки В, С:

(а)

Подбираем массу на звене AВ так, чтобы центр масс , m2, находился в точке А. Для этого служит векторное равенство

(б)

где = - радиус-вектор массы .

На рис. 33, б показано определение величины и направления вектора (величиной или можно задаться произвольно).

На продолжении звена ОА устанавливаем массу , которую получаем из равенства

(в)

Задача 5.8. На валу ОО (рис. 34) закреплены грузы с массами m1 ,т2, т3 и т4. Надо найти массы противовесов тпI и тпII,установленных в плоскостях исправления I - I и II - II на расстояниях, равных ρп1 = 50мм и ρп11 = 40мм, от их центров масс до оси вращения вала, если массы грузов и координаты их центров масс соответственно равны m1 = 2кг, ρ1 = = 10мм, т2 = 3кг, ρ2 = 15мм, т3 = 2кг, ρ3 = 12мм, т4 = 4кг, ρ4 = 20мм; расстояния между грузами равны l12=l23=l34=100мм.

Решение. Центры масс грузов лежат в одной плоскости, содержащей ось вращения вала ОО; поэтому векторы , представляющие собой дисбалансы , лежат в той же плоскости.

Расположим противовесы с массами тп1 и тпII так, как это указано на чертеже (рис. 34). Так как силы инерции грузов вместе с силами инерции противовесов должны находиться в равновесии, то величины масс противовесов тп1 и тпII найдем из уравнений моментов дисбалансов относительно точек О1 и О2 (точек пересечения плоскостей исправления с осью вала ОО).

Уравнение моментов дисбалансов относительно точ-

ки О1 будет

откуда масса противовеса тпII будет равна

Уравнение моментов дисбалансов относительно точки О2 будет

откуда масса противовеса тп1 будет равна

(если ответ получим со знаком минус, то искомый противовес следует расположить на том же перпендикуляре к оси ОО с противоположной стороны от нее).

Задача 5.9. Определить, где должны находиться центры масс подвижных звеньев четырехзвенного шарнирного механизма (рис. 35) для того, чтобы главный вектор сил инерции был равен нулю.

Длины звеньев равны =100мм, =400мм, = 200мм; массы звеньев равны: кривошипа АВ т1=2кг, шатуна ВС т2= 8кг, коромысла CD т3 = 4кг.

Задачу решить, исходя из требования, чтобы общий центр масс S подвижных звеньев совпадал с точкой А.

Решение. Примем за начало координат точку А, тогда вектор , определяющий положение общего центра масс подвижных звеньев, будет равен нулю и, следовательно, h1+h2+h3= 0, что возможно, только, если главный вектор каждого звена по отдельности будет равен нулю. Согласно этому условию получаем

Из первого равенства видно, что центр масс S3 коромысла CD должен совпадать с точкой С, так как m3 0. Из второго равенства получаем

т. е. центр масс шатуна ВС отстоит от точки В на расстоянии 200мм. Знак минус показывает, что полученный размер следует отложить от указанной точки на продолжении линии ВС в направлении от точки С к точке В.

Из третьего равенства находим

т. е. центр масс S, кривошипа АВ отстоит от точки А на расстоянии 600мм и расположен на продолжении линии АВ в направлении от точки В к точке А.

Задача 5.10. Определить массы противовесов , , , необходимые для уравновешивания главного вектора сил инерции четырехшарнирного четырехзвенного механизма (рис. 36), если координаты центров масс S1, S2, S3 звеньев равны =75мм, =200мм, =130мм; массы звеньев: кривошипа АВ m1= 0,1кг, шатуна ВС m2 = 0,8кг, коромысла CD m3 = 0,4кг; координаты центров масс противовесов , , равны =100мм, =200мм, =130мм. Решить задачу, предполагая, что общий центр масс S подвижных звеньев при уравновешенном главном векторе сил инерции совпадает с точкой А.

Решение. Полагая, что начало координат находится в точке A, пишем, что h1+h2+h3=0. Это равенство возможно только при условии, что h1=0, h2=0, h3=0. После уравновешивания масса каждого звена будет отличаться от заданной на величину искомой массы противовеса.

Таким образом, масса кривошипа АВ станет равной , масса шатуна - равной , масса коромысла – равной . Координаты центров масс ,, этих звеньев с массами ,, будут: для звена АВ; для звена ВС; для звена CD.

Так как h3 = 0, то , но 0, поэтому = 0, что возможно только при условии

,

откуда

Масса звена CD после уравновешивания будет равна

.

Задача 5.11. Масса ползуна 3 кривошипно-ползунного механизма (рис. 37) , равна m3 = 0,4кг. Подобрать массы m2 и m1 шатуна и кривошипа таким образом, чтобы главный вектор сил инерции всех звеньев механизма был уравновешен. Координаты центров масс S1 и S2 звеньев равны: кривошипа АВ = - 100мм, шатуна ВС = - 100мм, а размеры звеньев = 100мм, = 400мм.

Рис.37 Определение масс шатуна и кривошипа кривошипно - ползунного механизма из условия полного уравновешивания главного вектора сил инерции.

Рис. 38 Определение массы противовеса на кривошипе при уравновешивании вертикальной составляющей главного вектора сил инерции звеньев горизонтального кривошипно – ползунного механизма.

Решение. Примем за начало координат точку А. Имея в виду, что точка Z копирующая движение центра масс подвижных звеньев механизма, должна быть неподвижна, имеем h1+h2 = 0.

В рассматриваемом случае это равенство удовлетворяется, только если h1 = 0 и h2 = 0.

При условии, что h2 = 0, имеем

откуда

но при условии h1 = 0 имеем

откуда

Задача 5.12. Определить массу противовеса , который надо установить на кривошипе АВ горизонтального кривошипно - ползунного механизма (рис. 38) для уравновешивания вертикальной составляющей главного вектора сил инерции звеньев механизма, если координата центра масс этого противовеса равна = 600мм. Размеры звеньев: = 100мм, = 500мм. Координаты центров масс S1, S2, S3 звеньев = 75мм, = 150мм, = 100мм; массы звеньев: m1 = 0,3кг, m2 = 1,5кг, m3 =2,0кг.

Решение. Из условий задачи вытекает, что общий центр S масс подвижных звеньев должен двигаться только горизонтально, а следовательно, так же должна двигаться точка Z, копирующая его движение. Это будет возможно, если будет выполнено условие

откуда

где - масса кривошипа АВ после установки на нем противовеса, а - координата центра масс кривошипа после установки на нем противовеса. Так как

тогда