Лекция №3 Синусоидальный ток и его характеристики

Цепи переменного тока широко применяются в электротехнике и электронике. В отличие от цепей постоянного тока в них действуют периодически изменяющиеся ЭДС. Наиболее распространенные формы периодических ЭДС показаны на рис.3.1.

Рис. 3.1. Виды периодически изменяющихся ЭДС

Переменные ЭДС изменяются во времени как по величине, так и по направлению. Если эти изменения повторяются через равные промежутки времени, то они называются периодическими, а время повторения - периодом – Т (рис 3.1). Период измеряется в секундах.

Величина обратная периоду, называется частотой изменения ЭДС, и измеряется в герцах:

.

Диапазон применяемых частот весьма широк, от нескольких герц до нескольких гигагерц: генераторы электрических станций – 50 Гц; ЭВМ от 100 МГц до 1 ГГц.

Наиболее распространены цепи, находящиеся под воздействием синусоидальных ЭДС, поэтому в электротехнике под термином «цепи переменного тока» подразумевается, что в цепи действуют именно синусоидальные ЭДС.

Широкое распространение синусоидальных ЭДС объясняется наиболее простым способом их получения в электромашинных генераторах переменного напряжения в результате вращения токопроводящих рамок в постоянном магнитном поле.

Величина ЭДС зависит от магнитной индукции – В, скорости движения проводника в магнитном поле – V, его длины – l и угла пересечения проводником магнитных силовых линий:

где: е – мгновенное значение ЭДС;

2 – два плеча рамки, т. е. ее диаметр;

В – магнитная индукция;

V – линейная скорость движения проводников рамки;

l – длина рамки;

sin a – синус угла между направлением движения проводника рамки и направлением магнитной индукции.

Мгновенные значения ЭДС – е, тока – i, напряжения u – обозначаются строчными буквами.

При равномерном вращении рамки линейная скорость постоянна и равна:

.

где: D - диаметр рамки;

ω - угловая частота вращения рамки, которую можно выразить:

.

Тогда угол между направлением магнитной индукции и направлением движения проводника изменяется пропорционально времени:

,

тогда ЭДС будет равна:

.

Наибольшего значения ЭДС достигает при:

,

т. е. .

Следовательно:

,

где: Ет – амплитуда ЭДС, т. е. ее максимальное значение (рис 3.1).

В общем случае, если за начало отсчета принять произвольный угол – ψ, эта формула примет следующий вид:

,

где аргумент синуса - фаза – характеризует состояние колебания в данный момент времени. При t = 0 ψ – начальная фаза (рис 3.2).

Рис. 3.2

Таким же образом выражаются мгновенные значения токов, напряжений и других изменяющихся по синусоидальному закону величин.

Любая синусоидальная функция вполне определяется угловой частотой – ω; фазой – ψ; амплитудой – Ет, Uт, Iт.

Действующее значение тока и напряжения

Для оценки эффективности действия переменного тока используют его тепловое или электродинамическое действие и сравнивают с аналогичным действием постоянного тока за один и тот же интервал времени, равный одному периоду.

Значение периодического тока, равное значению такого постоянного тока, который за время одного периода производит тот же тепловой или электродинамический эффект, что и периодический ток называется действующим значением периодического тока.

Действующие значения тока, ЭДС и напряжения обозначают прописными буквами без индексов:

I; E; U.

Тепловой эффект пропорционален квадрату тока, то есть при постоянном токе количество тепла за период Т, выделяемое в резистивном элементе R, определяется по закону Джоуля-Ленца:

,

А при переменном токе

.

Тогда:

.

Решая это уравнение относительно I получим

.

Эта зависимость действующего значения от амплитудного справедлива для ЭДС и напряжения:

Электроизмерительные приборы электромагнитной, электродинамической, электростатической и тепловой систем, а также современные цифровые приборы измеряют действующие значения периодических токов и напряжений.

Представление синусоидальных величин векторами и комплексными числами

Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить графически, записать при помощи уравнений с тригонометрическими функциями и представить в виде вращающихся векторов на комплексной плоскости.

Рассмотрим вопрос об изображении синусоидальных величин векторами на комплексной плоскости.

Комплексное число имеет действительную и мнимую части. По оси абсцисс будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат - мнимую часть.

Условимся на оси действительных значений ставить знак ±1, а мнимых ±ј, где .

Комплексное число изображается на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющем угол α с осью вещественных значений (осью +1) (рис 3.3). Из курса математики известна формула Эйлера для комплексных чисел:

.

Модуль функции равен единице:

Проекция функции на ось +1 равна , а проекция этой функции на ось +j равна . Возьмем теперь функцию . Очевидно, что

.

На комплексной плоскости эта функция, также как и функция изобразится под углом α к оси +1, но величина вектора будет в раз больше.

Угол α может быть любым, в том числе изменяться прямо пропорционально времени. Тогда

.

Слагаемое представляет собой действительную часть выражения , а слагаемое его мнимую часть.

Для единообразия принято изображать на комплексной плоскости векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt=0.

Тогда вектор будет равен

,

где - вектор – то есть комплексная величина, модуль ее равен , а угол, под которым вектор проведен к оси +1 на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ. еще называют комплексной амплитудой тока i.

Изображение векторов токов и напряжений электрической цепи на комплексной плоскости позволяет произвести их геометрическое сложение и вычитание, дает наглядное представление об их величине и взаимном расположении.

Совокупность векторов на комплексной плоскости изображающих собой синусоидально изменяющиеся функции одной и той же частоты, построенные с соблюдением правильной ориентации относительно друг друга, называется векторной диаграммой.

Применение комплексных чисел позволяет от геометрического сложения векторов на векторной диаграмме перейти к алгебраическому действию над комплексными числами этих векторов. При этом расчеты цепей переменного тока производят теми же методами, что и цепи постоянного тока.

Расчет электрических цепей переменного тока методом комплексных чисел (символическим методом).

Суть метода комплексных чисел заключается в том, что каждый вектор тока или других величин - , , а дальше мы рассмотрим и сопротивлений, раскладывается на составляющие и представляющие проекции вектора на оси комплексной плоскости (рис 3.4). Проекцию вектора на мнимую ось обозначают символом – j. Тогда можно записать:

Умножение вектора на символ j поворачивает этот вектор на угол 90º против часовой стрелки. Умножение вектора на j2 поворачивает вектор на 180º, т. е. откуда . Символ j – это мнимая единица.

Действующие значения токов и напряжений в комплексной форме обозначаются заглавными буквами, над которыми ставят точку или черту.

Применяют три формы записи комплексных величин:

1. Алгебраическая форма

;

2. Тригонометрическая форма

;

3. Показательная форма

Для перехода от одной формы записи к другой применяются соотношения:

- для перехода от алгебраической формы записи к показательной;

и наоборот - это вытекает из формулы Эйлера.

Алгебраическую форму записи комплексных чисел удобно применять при сложении и вычитании векторов, а показательную при делении и умножении.

Таким образом, синусоидальные величины можно рассматривать как векторы, модули которых равны соответствующим комплексным амплитудам (или действующим значениям) вращающиеся против часовой стрелки с угловой частотой ω. Отметим, что в практических расчетах обычно принимают t = 0 и рассматривают лишь статическое взаимное расположение комплексных ЭДС, токов и напряжений.