Лекция № 4 Резистор, индуктивная катушка и конденсатор в цепи синусоидального тока.
Термин «сопротивление» для цепей переменного тока, оказывается недостаточно полным, поскольку сопротивление переменному току оказывают не только те элементы цепи, в которых выделяется энергия в виде теплоты (их называют активными сопротивлениями), но и те элементы цепи, в которых энергия периодически запасается в электрическом или магнитном полях. Такие элементы цепи называют реактивными сопротивлениями. Реактивными сопротивлениями обладают индуктивности и емкости.
Активное сопротивление в цепи синусоидального тока.
Если по активному сопротивлению 
течет ток 
тогда
по закону Ома
или
где 
Т. е. в активном сопротивлении элемента цепи комплекс тока 
совпадает с комплексом напряжения 
Рис. 4.1 – Графики мгновенных значений 
Мгновенная мощность
=
или 
т. е. мгновенная мощность имеет постоянную составляющую 
и переменную составляющую 
меняющуюся с частотой равной 
(на рис. 4.1)
Индуктивность в цепи переменного синусоидального тока.
Практически любая обмотка (катушка) обладает некоторой индуктивностью 
и активным сопротивлением .
Схема замещения катушки может быть представлена в виде последовательного соединения индуктивности и активного сопротивления 
.
Выделим из схемы одну индуктивность
Рис. 4.2
Если через индуктивность течет ток , то в катушке наводится ЭДС самоиндукции - 
.
Для прохождения переменного тока через индуктивность необходимо, чтобы на ее зажимах было напряжение 
, равное и противоположно направленное 
.
,
где 
- индуктивное сопротивление 
где 
- частота, Гц,
- индуктивность, Гн.
Движению переменного тока через индуктивность оказывается сопротивление за счет накопления энергии 
, это сопротивление называется индуктивным.
Размерность индуктивного сопротивления
.
Значение тока в цепи с индуктивностью опережает ЭДС самоиндукции на 90°, но т. к. вектор напряжения на катушке индуктивности направлен в противоположную сторону ЭДС.
т. е. 
т. о. в цепи с индуктивностью вектор тока отстает от вектора напряжения на угол 90°.
Действующее значение тока в цепи с индуктивностью равно действующему значению напряжения, деленному на индуктивное сопротивление.
т. е. 
Приведенная формула похожа на закон Ома. Это внешнее сходство позволяет определить ток в цепи с индуктивностью, подобно тому, как в цепи с активным сопротивлением. Но нужно помнить, что индуктивное сопротивление с физической точки зрения с обычным сопротивлением ничего общего не имеет.
Понятие об индуктивном сопротивлении формально введено для облегчения расчета.
Оно заменяет фактическое влияние ЭДС самоиндукции на ток в цепи.
Мгновенная и реактивная мощность
Мгновенное значение мощности 
или
График изменения мощности представляет собой синусоиду двойной частоты с амплитудой
.
Наибольшее значение мощности в цепи с индуктивностью равно произведению действующих значений напряжения и тока.
В первую четверть периода, когда ток в цепи увеличивается, энергия накапливается в магнитном поле катушки за счет энергии источника. Катушка в это время является приемником энергии: ток направлен против ЭДС самоиндукции.
Во вторую четверть периода, когда ток уменьшается, энергия возвращается в сеть (источнику). Направление ЭДС самоиндукции и тока совпадают. Катушка является источником энергии.
В следующую половину периода процесс повторяется.
Средняя активная мощность за период равна нулю 
, т. к. в цепи с индуктивностью преобразования электрической энергии в другие виды энергии не происходит.
Цепь с емкостью – 
К конденсатору с идеальным диэлектриком, т. е. в нем нет потерь энергии, подведено напряжение
Определим ток и мощность
Ток в цепи.
Заряд конденсатора пропорционален напряжению между его обкладками, поэтому изменение напряжения сопровождается изменением заряда.
Скорость изменения заряда пропорциональна скорости изменения напряжения.
но скорость изменения заряда равна электрическому току
т. к. 
то 
Сопоставляя: 
получаем, что ток через конденсатор по фазе опережает напряжение на конденсаторе на угол 90°. На векторной диаграмме вектор тока 
опережает вектор напряжения 
на угол 90°.
Амплитуда тока 
Действующее значение тока
или 
где 
- реактивное сопротивление конденсатора
Построение графика мгновенной мощности конденсатора выполняют также как и для индуктивной катушки.
т. к. 
В первую четверть периода, когда напряжение на конденсаторе возрастает, энергия накапливается в электрическом поле конденсатора за счет работы источника, конденсатор в это время заряжается, т. е. является приемником энергии. Направления тока и напряжения совпадают.
Во вторую четверть периода, когда напряжение уменьшается, энергия в том же количестве возвращается в сеть к источнику. Ток направлен против напряжения сети – конденсатор является источником энергии ( разряжается ) и так в 3й и 4й части периода.
Активная мощность равна нулю, а реактивная
Установившийся режим в простейшей неразветвленной цепи с сосредоточенными параметрами.
Электрические цепи характеризуются двумя режимами: переходным и установившимся.
Переходные режимы возникают в результате перераспределения энергии электрических и магнитных полей в 
и 
при резком изменении параметров электрической цепи.
Простейшая электрическая цепь переменного тока с 
Общее сопротивление такой цепи
где 
- реактивное сопротивление
или 
где 
Если по цепи протекает ток, то:
или 
в комплексной форме
Отсюда 
или
- закон Ома в комплексной форме
где 
- комплексное сопротивление
- модуль комплексного сопротивления
Величина обратная комплексному сопротивлению называется комплексной проводимостью.
(сименс)
Умножая на сопряженный комплекс получаем
где 
- активная проводимость,
- реактивная проводимость.
, 
по модулю 
Умножив 
сопротивление на ток 
получим треугольник U.
Напряжение можно представить в виде двух составляющих
Цепь 
Пусть 
По второму закону Кирхгофа
где 
и 
- синусоидальные напряжения
В комплексной форме
тогда 
или 
где 
- комплекс полного сопротивления индуктивной катушки (цепи )
Показательная форма записи
где 
- модуль комплекса полного сопротивления цепи
- аргумент.
Если 
, а 
,
тогда 
где 
, а 
Если ток , то 
.
- Комплекс тока в цепи с 
равен комплексу напряжения деленному на комплекс полного сопротивления катушки.
Умножив треугольники 
на получим:
– полная мощность (ВА)
- реактивная мощность (ВАp)
- активная мощность (Вт)
или 
- коэффициент мощности, зависит от соотношения
и
по его величине судят о том, какую часть полной мощности цепи составляет активная мощность.
Активную мощность измеряют ваттметром.
Цепь 
Пусть 
.
По второму закону Кирхгофа
, т. к. напряжение 
отстает от тока
или 
– комплекс полного сопротивления
- модуль комплекса
- аргумент
Напряжение на входе цепи 
отстает от тока на угол сдвига фаз 
т. о. 
, т. к. 
Аналогично цепи 
или 
Сложные цепи, состоящие из последовательных и параллельных участков
Расчет
1. При расчете цепи определяют активные 
и реактивные 
проводимости параллельных ветвей
; 
; 
; 
.
2. Далее определяют активную и реактивную проводимость разветвления аb
3.Преобразуют схему в эквивалентную
4.Определяют активное и реактивное сопротивление всей цепи
тогда 
; 
; 
; 
,
где 
, а 
.
Построение векторной диаграммы (по активным и реактивным составляющим).
Лучше построение векторной диаграммы начать с последней ветви и идти к началу цепи, т. е.к общему току и напряжению.
В нашем случае построение начнем с напряжения 
- откладываем его произвольно в масштабе.
Топографическая диаграмма:
при последовательном соединении напряжений и параллельных токов.
Топографическая диаграмма – такая векторная диаграмма, каждая точка которой соответствует определенной точке электрической цепи.
Резонанс при последовательном и параллельном соединении элементов 
Резонанс – такой режим цепи содержащей 
, индуктивность и емкость, при котором ее входное сопротивление (или проводимость) имеет активный характер.
В зависимости от вида цепи (последовательное или параллельное соединение) существует резонанс напряжений и токов.
1. Последов. соединение R, L,C.
Условие резонанса:
или 
т. к. 
, а 
, т. о.
, т. е. 
или 
где 
- резонансная угловая частота.
при резонансе 
При последовательном соединении 
и 
в резонансном режиме 
, т. е. имеется резонанс напряжений.
При резонансе значения 
и 
могут значительно превышать напряжения на зажимах.
Ток при резонансе 
или 
, т. к. 
, а 
т. о. 
, делим на 
, сокращаем
,
где 
- характеристическое (волновое) сопротивление контура имеет размерность сопротивления.
т. к. 
; 
; 
.
Отношение напряжения на индуктивности (или емкости) к напряжению на зажимах цепи при резонансе называется добротностью контура.
.
Величина обратная 
называется затуханием (
)
Параллельное соединение 
Условие резонанса: 
, т. е 
.
При равенстве реактивных проводимостей ветвей противоположные по фазе реактивные составляющие токов 
и 
равны по величине.
Такой режим работы цепи называют резонансом токов.
, 
, 
тогда 
или 
,
т. к. 
, то 
.
т. е. общий ток носит чисто активный характер (совпадает с 
) и может быть меньше 
и 
.
Символический метод анализа электрических цепей синусоидального тока.
В режиме синусоидального тока можно перейти от уравнений составленных для мгновенных значений (дифференциальных уравнений) к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС.
Например 
, 
Для схемы:
или
,
т. к. амплитуда действующего напряжения на 
, то знак 
говорит о том, что 
опережает 
на 90°.
Для емкости 
- напряжение отстает от тока на 90°.
Если 
– комплексная амплитуда действующей ЭДС, то
и 
,
т. о.умножение на равносильно повороту вектора на 90°, а на 
- на “-90°”.
Три формы записи комплексных чисел:
- алгебраическая форма,
- показательная форма,
- тригонометрическая.
Операции с комплексными числами
Сложение и вычитание комплексных чисел производится в алгебраической форме.
.
Деление и умножение производится в показательной форме:
;.
,
где 
, а 
.
